אם אתה מתגלגל למות אחד, מה המספר הצפוי של לחמניות הדרושים כדי לגלגל כל מספר פעם?

תשובה:

# 14.7 "לחמניות" #

הסבר:

#P "כל המספרים נזרקו" = 1 - P "1,2,3,4,5 או 6 לא נזרקו" #

# P "A או B או C או D או E או F" = P A + P B + … + P F - #

#P A ו- B - P A ו- C … + P A ו- B ו- C + … #

# "הנה זה" #

# 1 * 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# 1 - 6) (5/6) ^ (1/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# (- 5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "השלילי של זה ההסתברות שלנו". #

#sum n * a ^ (n-1) = sum (d / {da}) (a ^ n) #

# 1 (d / {da}) סכום a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = סכום n * P "כל המספרים שהושלכו לאחר הזריקות" #

# (n =) (5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + # #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "אנחנו חייבים להחסיר אחד בגלל ההתחלה התנאי P_1 (0)" #

# "נותן ערך פגום P = 1 עבור n = 1" #

# => P = 15.7 - 1 = 14.7 #

תשובה:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

הסבר:

תחשוב על זה כמו שישה מיני משחקים. עבור כל משחק, אנחנו מגלגלים את הקובייה עד שאנחנו מגלגלים מספר שלא התגלגל עדיין - מה שנקרא "ניצחון". ואז אנחנו מתחילים את המשחק הבא.

תן #איקס# להיות מספר לחמניות צורך לגלגל כל מספר לפחות פעם אחת (כלומר לנצח את כל 6 מיני משחקים), ולתת # X_i # להיות מספר לחמניות הדרושים כדי "לנצח" מספר משחק מיני #אני# (ל #אני# מ 1 עד 6). ואז כל אחד # X_i # הוא משתנה גיאומטרי אקראי עם הפצה # "גיאוגרפי" (p_i) #.

הערך הצפוי של כל משתנה אקראי גיאומטרי הוא # 1 / p_i #.

עבור המשחק הראשון, # p_1 = 6/6 # שכן כל 6 התוצאות הן "חדש". לפיכך, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

עבור המשחק השני, 5 מתוך 6 תוצאות חדשות, כך # p_2 = 5/6 #. לפיכך, # "E" (X_2) = 6/5 = 1.2 #.

עבור המשחק השלישי, 4 מתוך 6 גלילים אפשריים הם חדשים, כך # p_3 = 4/6 #, כלומר # "E" (X_3) = 6/4 = 1.5 #.

בשלב זה, אנו יכולים לראות דפוס. מאז מספר "מנצח" לחמניות פוחתת על ידי 1 עבור כל משחק חדש, ההסתברות של "המנצח" כל משחק יורד מ #6/6# ל #5/6#, לאחר מכן #4/6#, וכו ', כלומר מספר הצפוי של לחמניות למשחק הולך #6/6# ל #6/5#, ל #6/4#, וכן הלאה, עד למשחק האחרון, שבו אנו מצפים שזה ייקח 6 לחמניות כדי לקבל את המספר האחרון.

לכן:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

# "+" E + ("E" (X_5) + "E" (X_6) # #

# 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

# 1 (+) + 1 + 1 + 2 + 3 + 6 #

#color (לבן) ("E" (X)) = 14.7 #