מהו אינפיניטי? + דוגמה

תשובה:

זה לא יכול להיות ענה ללא הקשר. הנה כמה מן השימושים במתמטיקה.

הסבר:

סט יש קרדינל אינסופי אם זה יכול להיות ממופה אחד על אחד על תת משנה של עצמו. זה לא השימוש באינסוף בחישוב.

ב חשבון, אנו משתמשים "אינסוף" ב 3 דרכים.

סימון מרווח:

הסמלים # oo # (בהתאמה # -oo #) משמשים להצביע על כך שלרווח אין נקודת קצה ימנית (משמאל).

המרווח # (2, oo) # הוא זהה לסט #איקס#

גבולות אינסופיים

אם גבול נכשל להתקיים כי #איקס# גישות # a #, ערכי #f (x) # ללא הגבלה, אז אנחנו כותבים #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

שים לב: הביטוי "ללא קשר" הוא משמעותי. את nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # מתרבים, אך מוגבלים לעיל. (הם אף פעם לא מגיעים או עוברים #1#.)

גבולות באינפיניטי

הביטוי "הגבול באינסוף" משמש כדי להצביע על כך ששאלנו מה קורה #f (x) # כפי ש #איקס# מגביר ללא קשירה.

דוגמאות מכילות

הגבול כפי #איקס# מגביר ללא קשר # x ^ 2 # אינו קיים משום שכך #איקס# מגביר ללא כבול, # x ^ 2 # גם גדל ללא קשורה.

זה כתוב #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # ולעתים קרובות אנו קוראים אותו

"הגבול כמו #איקס# הולך לאינסוף, של # x ^ 2 # הוא אינסוף"

הגבול #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # מציין כי, כפי ש #איקס# מגביר ללא כבול, # 1 / x # גישות #0#.

תשובה:

זה תלוי בהקשר …

הסבר:

#bb + - # אינסוף גבולות

חשבו על קבוצת המספרים הריאליים # RR #, לעתים קרובות בתמונה בתור שורה עם מספרים שליליים על שמאל ומספרים חיוביים בצד ימין. אנחנו יכולים להוסיף שתי נקודות # + oo # ו # -oo # כי לא ממש עובד כמו מספרים, אבל יש את המאפיין הבא:

#AA x ב- RR, -oo <x <+ oo #

אז אנחנו יכולים לכתוב #lim_ (x -> + oo) # כלומר את הגבול כמו #איקס# מקבל יותר ויותר חיוביים ללא גבול העליון #lim_ (x -> - oo) # כלומר את הגבול כמו #איקס# מקבל יותר ויותר שלילי ללא גבול נמוך.

אנו יכולים גם לכתוב ביטויים כגון:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… כלומר, הערך של # 1 / x # מגדילה או מקטינה ללא כבול #איקס# גישות #0# מן הימין או משמאל.

אז בהקשרים האלה # + - oo # הם באמת קצרנות להביע תנאים או תוצאות של הגבלת תהליכים.

אינפיניטי כמו השלמת # RR # או # CC #

הקו הישרתי # RR_oo # ואת כדור רימן # CC_oo # נוצרים על ידי הוספת נקודה אחת הנקראת # oo # ל # RR # או # CC # - "הנקודה באינסוף".

לאחר מכן נוכל להרחיב את ההגדרה של פונקציות כמו #f (z) = (az + b) / (cz + d) # להיות רציפה ומוגדרת היטב בכללותה # RR_oo # או # CC_oo #. אלה Mobbius transformations לעבוד טוב במיוחד ב # C_oo #, שבו הם מפתרים עיגולים למעגלים.

אינפיניטי בתורת הקבוצות

גודל (Cardinality) של קבוצה של מספרים שלמים הוא אינסופי, המכונה אינסוף ספירה. גיאורג קנטור מצא שמספר המספרים הריאליים גדול בהרבה מאין סוף זה. בתיאוריה קבוצה יש שפע של אינסוף הגדלים הגדלים.

אינפיניטי כמספר

האם באמת ניתן לטפל באינסוף כמספרים? כן, אבל דברים לא עובדים כפי שאתה מצפה כל הזמן. לדוגמה, אנו עשויים לומר בשמחה # 1 / oo = 0 # ו # 1/0 = oo #, אבל מה הערך של # 0 * oo? #

ישנן מספר מערכות הכוללות אינסוף ו infinitesimals (מספר קטן עד אינסוף). אלה מספקים תמונה אינטואיטיבית של התוצאות של תהליכים גבול כגון בידול וניתן לטפל בקפדנות, אבל יש לא מעט מכשולים להימנע.