מהי ההסתברות לנצח במשחק הבא לאין שיעור?

תשובה:

# "תשובה D" # #

הסבר:

# "זוהי התשובה ההגיונית היחידה, האחרים הם בלתי אפשריים." #

# "זוהי בעיה להרוס את המהמר." #

# "מהמר מתחיל עם k דולר." #

# "הוא משחק עד שהוא מגיע ל- G דולר או נופל בחזרה ל -0." #

#p = "סיכוי שהוא ינצח 1 דולר במשחק אחד" # #

#q = 1 - p = "סיכוי שהוא מאבד 1 דולר במשחק אחד" # #

# "התקשר" r_k "ההסתברות (סיכוי) שהוא נהרס." #

#"אז יש לנו"#

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, עם "1 <= k <= G-1 #

# "אנחנו יכולים לשכתב את המשוואה הזו בגלל p + q = 1 כדלקמן: # #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "עכשיו יש לנו את המקרה" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

# r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "עבור" r_k "יש לנו" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "אז שחקן A מתחיל כאן עם k = דולר ומשחק עד" # #

# "הוא מקבל הרוס או יש + b דולר." #

# => k = a "ו-" G = a # b #

# "אז הסיכויים שהוא נהרס הם" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / a + b #

# "הסיכויים שהוא מנצח הם" #

# 1 - b / (a + b) = a (a + b) => "תשובה D" # #