מהו lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) חטא (1 / x)) / x ^ 2?

תשובה:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

הסבר:

תן # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# lny = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) # #

# lny = lne ^ (2x) + ln (חטא (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# lny = 2xlne + ln (חטא (1 / x)) - 2lnx #

# lny = 2x + ln (חטא (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (חטא (1 / x)) - 2lnx #

(x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (חטא (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = oo #

# e ^ lny = e ^ oo #

# y = oo #

תשובה:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. עיין בסעיף הסבר בהמשך.

הסבר:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

שים לב ש: # (e ^ (2x) חטא (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * חטא (1 / x) / (1 / x) # #

לא היה # xrarroo #, היחס הראשון גדל ללא כבול, ואילו השני הולך #1#.

# 1 (xx) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) חטא (1 / x) / 1 (x / x) /איקס)#

# # oo #

הסבר נוסף

הנה ההיגיון שהוביל לפתרון לעיל.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # יש טופס ראשוני # (oo * 0) / oo #.

זהו טופס בלתי מוגדר, אבל אנחנו לא יכולים ליישם את הכלל של בית החולים לטופס זה.

נוכל לכתוב אותו מחדש # (e ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # כדי לקבל את הטופס # oo / oo # שאליה נוכל ליישם את בית החולים. עם זאת, אני לא רוצה במיוחד לקחת את נגזרת של המכנה.

נזכיר את זה #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

אז זה #lim_ (xrarroo) חטא (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

זה מה מניע את שכתוב בשימוש לעיל.

# (e ^ (2x) חטא (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * חטא (1 / x) / (1 / x) # #.

כפי ש #איקס# מגביר ללא כבול, # e ^ x # הולך לאינסוף הרבה יותר מהר # x ^ 3 # (מהר יותר מכל כוח של #איקס#).

לכן, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # מתפוצץ אפילו מהר יותר.

אם אין לך עובדה זו, השתמש בכללים של בית החולים לקבל

# 2 (xrarroo) (2x ^ (2x)) (3x ^ 2) # #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #