מהו התחום והטווח של f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

תשובה:

התחום הוא # RR # (כל המספרים הממשיים) והטווח הוא # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72

(כל המספרים הריאליים בין וכולל # (5-sqrt (61)) / 72 # ו # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

הסבר:

בתחום, אנו מתחילים עם כל המספרים הריאליים, ולאחר מכן להסיר כל אשר יכריח אותנו יש שורש ריבועי של מספר שלילי, או #0# במכנה של חלק.

במבט אחד, אנחנו יודעים את זה כמו # x ^ 2> = 0 # עבור כל המספרים הממשיים, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. לכן המכנה לא יהיה #0# עבור כל מספר ממשי #איקס#, כלומר התחום כולל כל מספר ממשי.

עבור טווח, הדרך הקלה ביותר למצוא את הערכים הנ"ל כרוך כמה חצץ בסיסי. למרות שזה יותר, ניתן גם למצוא אותם באמצעות אלגברה בלבד, עם זאת, עם השיטה המפורטת להלן.

החל מהפונקציה #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # # אנו רוצים למצוא את כל הערכים האפשריים של #f (x) #. זה שווה למציאת התחום של הפונקציה ההופכית # f ^ -1 (x) # (פונקציה עם הנכס # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

למרבה הצער, ההופך של #f (x) # במקרה זה הוא לא פונקציה, כפי שהוא מחזיר 2 ערכים, עם זאת, הרעיון הוא עדיין אותו דבר. נתחיל עם המשוואה #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # # ולפתור עבור #איקס# כדי למצוא את ההופך. הבא, נבחן את הערכים האפשריים של # y # כדי למצוא את התחום של ההופך, ולכן את טווח הפונקציה המקורית.

פתרון עבור #איקס#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

טיפול # y # כתמיד, אנו מיישמים את הנוסחה הריבועית

# b = + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) # #

לרכוש

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) # #

עכשיו אנחנו צריכים למצוא את התחום של הביטוי הנ"ל (שים לב כי זה לא פונקציה בגלל #+-#). שים לב כי על ידי חלוקת על ידי # y # בנוסחה הריבועית, איבדנו את האפשרות # y = 0 #, אשר ניתן בבירור במשוואה המקורית (עבור #x = -5 #). כך נתעלם # y # במכנה של ההופך, ורק להתמקד השורש הריבועי.

כאמור, אנחנו לא מאפשרים את השורש הריבועי של ערך פחות מ 0, ולכן יש לנו את ההגבלה

# 1 - 4y (36y-5)> 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

באמצעות הנוסחה ריבועית ב # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # אנו מוצאים, לאחר כמה פישוט, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

לבסוף, אנחנו יכולים להגיד את זה כמו # | y | # גדל גדול, # -144 y ^ 2 + 20y + 1 # יהיה פחות מ #0#. לכן אנו רואים רק את המרווח בין

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # ו #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

אז את הערכים מותר עבור # y #, ולכן טווח עבור #f (x) #, J

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72