מהו התחום והטווח של f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

תשובה:

תחום: כל קו אמיתי

טווח: #-0.0757,0.826#

הסבר:

שאלה זו יכולה להתפרש באחת משתי דרכים. או שאנחנו מצפים רק להתמודד עם הקו האמיתי # RR #, או גם עם שאר המטוס המורכב # CC #. השימוש של #איקס# שכן המשתנה מרמז על כך שאנו עוסקים בקו האמיתי בלבד, אך יש הבדל מעניין בין שני המקרים שאציין.

התחום של # f # היא כל קבוצה נומרית נחשב מינוס כל הנקודות שגורמות לפונקציה לפוצץ עד אינסוף. זה קורה כאשר המכנה # x ^ 2 + 4 = 0 #, כלומר מתי # x ^ 2 = -4 #. למשוואה זו אין פתרונות אמיתיים, אז אם אנחנו עובדים על הקו האמיתי, התחום הוא כל הזמן # (- oo, + oo) #. אם ניקח בחשבון את הגבולות האינסופיים של הפונקציה על ידי השוואת מונחים מובילים במספרה ומכנה, אנו רואים שבשתי האינסופיות היא נוטה לאפס, וכך אנו יכולים אם נרצה להוסיף אותם לתקופה זו כדי לסגור אותה: # - oo, + oo #.

המשוואה # x ^ 2 = -4 # אולם יש שני פתרונות מורכבים, #x = + - 2i #. אם ניקח בחשבון את המטוס המורכב כולו, אז התחום הוא המטוס כולו מינוס שתי נקודות אלה: # CC # # {- 2i} #. כמו עם ריאל, אנחנו יכולים להוסיף באינסוף דומה אם נרצה.

כדי לקבוע את טווח # f # עלינו לגלות את ערכי המקסימום והמינימום שלה על הדומיין שלה. אנחנו רק מדברים במונחים של ריאל עכשיו, כמו קביעת אנלוגי אלה מעל המטוס המורכב הוא בכלל סוג אחר של בעיה הדורשת כלים מתמטיים שונים.

קח את הנגזרת הראשונה באמצעות כלל המנה:

(x + 2 + 4) ^ 2 = (x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) 4) ^ 2 #

הפונקציה # f # מגיע לנקודה קיצונית או לנקודה של הטיה #f '(x) = 0 #, כלומר מתי # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

אנו פותרים זאת באמצעות הנוסחה הריבועית:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. אז לתפקוד יש שתי נקודות כאלה.

אנו מאפיינים נקודות אלה על ידי בחינת הערכים שלהם בנגזרת השנייה של # f #, אשר אנו לוקחים, שוב באמצעות כלל מנה:

# (x - 2x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) (x ^ 2 + 4) +4) ^ 4 #

# (+ 2 x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

אנו יודעים מחישוב שורש הנגזרות הראשון שלנו שהמונח השני במספרה הוא אפס לשתי הנקודות הללו, שכן הגדרת אפס היא המשוואה שפשוט פתרנו כדי למצוא את מספרי הקלט.

אז, וציין את זה # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

(+) 3 (+) + (+) 3 (+) 3 (+) 3 (+) 3 (+) 3 (+) + (13) +4) ^ 3 #

(#) (+) 2sqrt (13) (26) (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

בקביעת סימן הביטוי נשאל האם # 26> 6sqrt (13) #. מרובע שני הצדדים כדי להשוות: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. לכן # 26-6sqrt (13) # חיובי (ו # 26 + 6sqrt (13) # אפילו יותר מכך).

אז סימן הביטוי כולו מגיע ל #bar (+) # לפניו, כלומר # x = -3-sqrt (13) # יש ל #f '' (x)> 0 # (ולכן הוא המינימום פונקציה) ו # x = -3 + sqrt (13) # יש ל #f '' (x) <0 # (ולכן היא פונקציה מקסימלית). לאחר שציינו כי הפונקציה נוטה לאפס את האינסוף, עכשיו אנחנו מבינים את הצורה של הפונקציה במלואה.

אז עכשיו כדי להשיג את הטווח, אנחנו חייבים לחשב את הערכים של הפונקציה בנקודות מינימום ומקסימום # x = -3 + -sqrt (13) #

נזכיר את זה #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) # #, וכך

(+) - + 3 (+) + (+) = (+ - sqrt (13)) / (22) + (+) 6sqrt (13)) #.

אז, מעל הקו האמיתי # RR # הפונקציה #f (x) # לוקח ערכים בטווח # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)), אשר אם אנו להעריך באופן מספרי, מגיע #-0.0757,0.826#, לשלוש דמויות משמעותיות, שהושגו ב #איקס# ערכים #-6.61# ו #0.606# (3 s.f.)

קבעו את גרף הפונקציה כבקשת שפיות:

גרף {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

תשובה:

דומיין: #x ב- RR #

טווח: #f (x) ב- -0.075693909, + 0.825693909 צבע (לבן) ("xxx") # (כ)

הסבר:

בהתחשב

# xolor (לבן) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) # #

דומיין

ה תחום הם כל הערכים של #איקס# לאיזה #f (x) # מוגדר.

עבור כל פונקציה לידי ביטוי פולינום מחולק על ידי פולינום, הפונקציה מוגדרת עבור כל הערכים של #איקס# שם פולינום החוקר אינו שווה לאפס. מאז # x ^ 2> = 0 # עבור כל הערכים של #איקס#, # x ^ 2 + 4> 0 # עבור כל הערכים של #איקס#; זה #x! = 0 # עבור כל הערכים של #איקס#; הפונקציה מוגדרת עבור כל Real (# RR #) ערכי #איקס#.

טווח

ה טווח הוא קצת יותר מעניין לפתח.

אנו מציינים כי אם לפונקציה רציפה יש מגבלות, הנגזרת של הפונקציה בנקודות המביאות למגבלות אלה שווה לאפס.

למרות שחלק מהצעדים הללו עשויים להיות טריוויאליים, נפעל בתהליך זה מעקרונות בסיסיים יחסית לנגזרים.

1 כלל המענקים לנגזרים

אם #f (x) = x ^ n # לאחר מכן # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 סיכום כלל נגזרים

אם #f (x) = r (x) + s (x) # לאחר מכן # (d f) (d) (d) = (d d) = (d r) (/ dx) + (dx) + (d s (x)) / dx #

3 כלל מוצרים עבור מכשירים נגזרים

אם #f (x) = g (x) * h (x) # לאחר מכן # (d f) x (dx) = (d d) = (d g (x)) (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / dx #

4 כלל שרשרת עבור מכשירים נגזרים

אם #f (x) = p (q (x)) # לאחר מכן # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

עבור הפונקציה הנתונה #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) # #

אנו מציינים כי ניתן לכתוב זאת # (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

לפי 3 אנחנו יודעים

צבע (כחול) (אדום) (אדום) (df) (/ dx)) צבע (כחול) (+) (+) (+) + (+) (+) (+) (+)) / (dx)) #

על ידי 1 יש לנו

# (dx) (dx) (dx) (dx) (dx) (d) x (3) x (x)

ועל ידי 2

# (צבע לבן) ("XXX") צבע (סיד) (d (x + 3)) / dx) = 1 + 0 = צבע (סיד) (1) #

על ידי 4 יש לנו

# (x) (=) (d) x (4) x (+) (d) x (4) x (x + 4)) * (d (x + 4)) (dx) #

ועל ידי 1 ו- 2

# xolor (לבן) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

או, פשוטה:

# (צבע לבן) (xxXXX) = צבע (מגנטה) (- (2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

נותנים לנו

# (צבע לבן) (צבע) (אדום) (אדום) (df) x / (dx)) = צבע (ירוק) 1 צבע (כחול)) + צבע (כחול) (x + 3)) * צבע (מגנטה) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

אשר ניתן לפשט כמו

# (x) (+) x (+ x) +) (x) + (x) +) (x)

כפי שצוין (בדרך חזרה) זה אומר כי ערכי הגבול יתרחשו כאשר

# xolor (לבן) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (לבן) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

ולאחר מכן באמצעות נוסחה ריבועית (תסתכל על זה, סוקראטי כבר מתלונן על אורך התשובה הזו)

מתי

#color (לבן) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

במקום להאריך את הייסורים, פשוט נחבר ערכים אלה למחשבון שלנו (או גיליון אלקטרוני, וכך אני עושה זאת) כדי לקבל את המגבלות:

#color (לבן) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~ ~ -07575693909 #

ו

#color (לבן) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~ ~ 0.825693909 #

תשובה:

דרך פשוטה יותר למצוא את הטווח. התחום הוא #x ב- RR #. הטווח הוא #y ב- -0.076, 0.826 #

הסבר:

התחום הוא #x ב- RR # כפי ש

#AA x RR #, המכנה # x ^ 2 + 4> 0 #

תן # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

הצלב להכפיל

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

זוהי משוואה ריבועית ב #איקס#

יש פתרונות אם המפלה #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

לכן, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

הפתרונות של אי שוויון זה הם

# () 12 () 12 (-) 12 (*) 2 (*) * (*) * (*) * (*) * 1) * 16)) / (32) #

#y ב (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32

#y ב- -0.076, 0.826 #

גרף {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}