מהו שורש הריבוע של 82?

תשובה:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

הסבר:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrts # ל #n -> oo #

S הוא מספר אשר אתה aproxximating שורש sqaure שלה. במקרה הזה # S = 82 #

Heres מה זה אומר ואיך זה משמש:

ראשית, לקחת לנחש, מה השורש הריבועי של 82 להיות?

השורש הריבועי של 81 הוא 9, אז זה חייב להיות sligthly גבוה מ 9 ימין?

הניחוש שלנו יהיה #x_ "0" #, נניח 9.2, #x_ "0" = 9.2 #

הוספת 9.2 כמו "x" בנוסחה ייתן לנו #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

זה יהיה המספר הבא שאנחנו מכניסים למשוואה. הסיבה לכך היא שהתחלנו עם ניחוש של 9.2 = #x_ "0" #, זה נתן לנו מספר #x_ "1" #, הוספת מספר זה ייתן לנו #x_ "2" #, אשר ייתן לנו #x_ "3" # וכן הלאה, תמיד נותן לנו את המספר הבא כאשר אנו מכניסים את הקודם. הצד הימני של המשוואה המצוין עם "#->#"כלומר, כאשר" n "מקבל גדול וגדול, מספר גם מתקרב יותר ויותר לשורש הריבועי של S, במקרה זה 82.

נניח שעשינו את אותו חישוב 100 פעמים! אז היה לנו #x_ "100" #. מספר זה יהיה קרוב מאוד לשורש הריבועי של S.

די מדבר, בואו נעשה כמה חישובים אמיתיים!

אנחנו מתחילים עם הניחוש שלנו #x_ "0" = 9.2 #

#x_ "1" = 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~~ 9.05652 #

עכשיו לעשות את אותו הדבר עם מספר חדש: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

בואו נעשה זאת בפעם האחרונה: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~ ~ 9.0554 #

זה אומר # sqrt82 ~~ 9.0554 #

ויש לך את זה!

מצטער אם כל הדיבור שלי היה מעצבן. ניסיתי להסביר את זה בצורה מעמיקה ובדרך פשוטה, וזה תמיד נחמד אם אתה לא מכיר היטב תחום מסוים במתמטיקה. אני לא מבין למה אנשים מסוימים צריכים להיות כל כך יפים כאשר מסבירים מתמטיקה:)

תשובה:

# + 1 / (18 + 1 / (18 + …))) ~ ~ ~ 9.0553851381374 #

הסבר:

הגורם העיקרי של #82# J

#82 = 2*41#

מאחר שאין גורמים מרובעים, #sqrt (82) # לא ניתן לפשט. זהו מספר לא רציונלי גדול יותר #9#.

עם זאת, שים לב #82=81+1 = 9^2+1#.

מאז זה של הטופס # n ^ 2 + 1 #, שורש הריבוע יש צורה קבועה מאוד כמו המשך חלק:

# 18/1 / (18 + 1 / (18 + …))) #) #

יותר כללי:

#nq + 1 / (2n + 1 / (2n + …))) # (n = 2 + 1) = n, bar (2n) = n +

באופן כללי יותר:

# nq + n (+ m) (n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #

בכל מקרה, אנו יכולים להשתמש בחלק המתמשך כדי לקבל קירובים רציונליים #sqrt (82) # על ידי קיצוץ.

לדוגמה:

#sqrt (82) ~~ 9, 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9.0bar (5) #

#sqrt (82) ~ ~ 9, 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9.05bar (538461)

#sqrt (82) ~ ~ 9, 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

מחשבון אומר לי כי:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

אז אתה יכול לראות כי קירובים שלנו מדויקים רק כמו ספרות משמעותיות רבות כמו המספר הכולל של ספרות מנה.