שאלה # e8044

תשובה:

#color (כחול) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

# (x / 2) -2 / tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

הסבר:

מן נתון #int (1 / (1 + cot x)) dx #

אם integrand הוא פונקציה רציונאלית של פונקציות טריגונומטריות, החלפה # z = tan (x / 2) # #, או שווה ערך

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # # ו #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # ו

# dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #

הפתרון:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (חטא x / (חטא x + cos x)) dx #

#) (+ z 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) (* 2) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #

לפשט

#) (+ z 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) (* 2) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((z + 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

בשלב זה, השתמש שברים חלקי ואז לשלב

# (z + b) / (z + 2 + 1) + (cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz #

תחילה אנו עושים את החלקים החלקיים

# (- 4z) / (z + 2 + 1) (z + 2-2z-1)) = (+ B +) (+ 2 + 1) + (+ C + D) 2z-1) #

# (- 4z) / (z + 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (+ + B) (z ^ 2-2z-1) + (CZ + D) (z ^ 2 +1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

הרחב את הצד הימני של המשוואה

# (- 4z) / (z + 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (+ ^ + 2 + A + 2) + (+ z + 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

הגדר את המשוואות

# (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0) / (z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (+ A + C) * z + (- B + D) * z ^ 0) / (+ A + 2) ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

המשוואות הן

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

תוצאות פתרון סימולטני

# A = 1 # ו # B = 1 # ו # C = -1 # ו # D = 1 #

עכשיו אנחנו יכולים לעשות את האינטגרציה

# (z + b) / (z + 2 + 1) + (cz + D) / (z + 2-2z-1) dz = int (z + 1) / z + 2 + 1) + (- z + 1) / z 2-2z-1) dz =

# 1/2 int (2z) / (z + 2 + 1) dz + int dz / (z + 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z 2-2z-1) dz #

# 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# + 1/2 * ln (z + 2 + 1) / (z 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

אנו נחזיר אותו למשתנה המקורי #איקס# באמצעות # z = tan (x / 2) # # על התשובה הסופית.

#color (כחול) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

# (x / 2) -2 / tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

איפה # K = # קבוע של אינטגרציה

אלוהים יברך … אני מקווה שההסבר שימושי.