מהי המשוואה של פרבולה עם דגש על (5,3) ו directrix של y = -12?

תשובה:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

הסבר:

ההגדרה של פרבולה קובעת שלכל הנקודות על הפרבולה יש תמיד מרחק זהה למיקוד ולדיריקס.

אנחנו יכולים לתת # P = (x, y) #, אשר מייצג נקודה כללית על פרבולה, אנחנו יכולים לתת # F = (5,3) # מייצגים את המיקוד # D = (x, -12) # מייצגים את הנקודה הקרובה ביותר בדיריקס #איקס# היא כי הנקודה הקרובה ביותר על Directrix תמיד ישר למטה.

עכשיו אנחנו יכולים להגדיר משוואה עם נקודות אלה. נשתמש בנוסחת המרחק כדי לחשב את המרחקים:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

אנחנו יכולים ליישם את הנקודות שלנו כדי לקבל את המרחק הראשון בין # P # ו # F #:

#d_ (pf) = sqrt (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) # #

ואז נעבוד על המרחק בין # P # ו # D #:

# (x) x = x (y = (x) x (x)

מכיוון שמרחקים אלה חייבים להיות שווים זה לזה, אנו יכולים לשים אותם במשוואה:

# xqrt (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = = sqrt (y + 12) ^ 2) # #

מאז הנקודה # P # הוא באופן כללי יכול לייצג כל נקודה על פרבולה, אם אנחנו יכולים פשוט לפתור עבור # y # במשוואה, נשאיר עם משוואה שתיתן לנו את כל הנקודות על הפרבולה, או במילים אחרות, היא תהיה משוואת הפרבולה.

ראשית, אנחנו מרובעים את שני הצדדים:

# (xrt) (x + 5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt (y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

לאחר מכן נוכל להרחיב:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6 + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

אם אנחנו שמים את הכל בצד שמאל אוספים כמו מונחים, אנחנו מקבלים:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

שהיא המשוואה של הפרבולה שלנו.