מה עושה sqrt (3 + i) שווה ב + טופס דו?

תשובה:

# sqt () 3) (sqrt)) () 10 () 3 () 3 () +)

הסבר:

נניח # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

אז להשוות חלקים אמיתיים ודמיוניים שאנו מקבלים:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

לפיכך #b = 1 / (2a) #, אשר אנו יכולים להחליף את המשוואה הראשונה לקבל:

# 3 = a ^ 2 (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) # #

הכפל את שני הקצוות על ידי # 4a ^ 2 # להשיג:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

לכן:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

מהנוסחה הריבועית אנו מקבלים:

# 12 = -Sqrt) (+) = (+) = +) = (+) = +) = +) = (+

מאז #sqrt (10)> 3 #, בחר את #+# הירשם כדי לקבל ערכים אמיתיים עבור # a #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) # #

#b = + -qqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) # #

איפה # b # יש סימן זהה לזה # a # מאז #b = 1 / (2a) #

שורש הריבוע העיקרי הוא Q1 עם #a, b> 0 #

זה:

# sqt () 3) (sqrt)) () 10 () 3 () 3 () +)

למעשה, אם #c, d> 0 # אז נוכל להראות באופן דומה:

# (c + di) = (sqrt) (sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2)) אני#