איך אתה מוצא את החטא (x / 2), cos (x / 2), ואת שיזוף (x / 2) מן cot נתון (x) = 13?

תשובה:

יש למעשה ארבעה ערכים עבור # x / 2 # על מעגל היחידה, כך ארבעה ערכים עבור כל פונקציה trig. הערך העיקרי של חצי זווית הוא סביב # 2.2 ^ circ. #

#cos (1 / 2text {Arc} טקסט {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} טקסט {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} טקסט {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

ראה הסבר לאחרים.

הסבר:

בוא נדבר על התשובה קצת קודם. ישנן שתי זוויות על מעגל היחידה שאת cotangent הוא #13#. אחד בסביבה # 4.4 ^ circ #, ועוד זה פלוס # 180 ^ circ #, קורא לזה # 184.4 ^ circ #. לכל אחד מהם יש שתי זוויות חצי, שוב מופרדות על ידי # 180 ^ circ. # הראשון יש חצי זוויות # 2.2 ^ circ # ו # 182.2 ^ circ #, השני יש זוויות וחצי # 92.2 ^ circ # ו # 272.2 ^ circ #, אז יש באמת ארבע זוויות וחצי השאלה, עם ערכים שונים אך קשורים עבור פונקציות טריג שלהם.

נשתמש בזוויות הנ"ל כמו קירובים ולכן יש לנו שמות עבורם.

זוויות עם cotangent של 13:

#text {Arc} טקסט {cot} 13 בערך 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 בערך 184.4 ^ circ #

חצי זוויות:

# 1/2 טקסט {Arc} טקסט {cot} 13 בערך 2.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) בערך 182.2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) כ 92.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) כ- 272.2 ^ circ #

אישור, נוסחאות זווית כפולה עבור הקוסינוס הם:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin = 2 a #

כך הנוסחאות זווית חצי רלוונטי הם

#sin = pm sqr {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

זה הכול מקדים. בוא נעשה את הבעיה.

תחילה נעשה את הזווית הזעירה, # 2.2 ^ circ. # אנחנו רואים את כל השאר הם רק כפולות של # 90 ^ circ # מעל זה, כדי שנוכל לקבל פונקציות טריג שלהם מן הזווית הראשונה.

Cotangent של 13 הוא מדרון של #1/13# כך מתאים משולש ימין עם ההפך #1#, סמוך #13# ו hypotenuse #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = מ"ר {170}. #

#cos (טקסט {Arc} טקסט {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (טקסט {Arc} טקסט {cot} 13) = חטא 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

עכשיו אנחנו מיישמים את הנוסחאות חצי זווית. עבור הזווית הצעירה שלנו ברבע הראשון, אנו בוחרים את הסימנים החיוביים.

#cos (1 / 2text {Arc} טקסט {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

אנחנו יכולים לנסות לפשט ולהזיז את השברים מחוץ לקיצוני, אבל אני פשוט אשאיר את זה כאן.

# 1 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

זווית חצי משיק הוא מנה של אלה, אבל זה קל יותר לשימוש

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} # #

# 1 / 2text {Arc} טקסט {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

בסדר, זה כל החלק הקשה, אבל בואו לא נשכח את הזוויות האחרות.

# cos 182.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = = sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

עכשיו יש לנו את הזוויות הנותרות, אשר להחליף סינוס וקוסינוס, מדפדף סימנים. לא נחזור על הטפסים אלא על משיק.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

פו.

תשובה:

# xol (= / 0) 0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

# x / 2 = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

הסבר:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) # #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

# tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) # #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #

אבל אני יודע #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

מתי #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -038384 #

#cos (x / 2) = חטא (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #

מתי #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = -0.9993 #

#cos (x / 2) = חטא (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -038384 #