מהי הנוסחה הכללית עבור מפלה של פולינום של תואר n?

תשובה:

ראה הסבר …

הסבר:

מפלה של פולינום #f (x) # תואר # n # ניתן לתאר במונחים של הקובע של מטריצת סילבסטר של #f (x) # ו #f '(x) # כדלהלן:

בהתחשב you

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … a_1x + a_0 #

יש לנו:

# n '(n) 1 (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … a_1 #

מטריצת סילבסטר #f (x) # ו #f '(x) # הוא # (2n-1) xx (2n-1) # מטריצה שנוצרה באמצעות המקדמים שלהם, בדומה לדוגמה הבאה עבור # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_0, a_0, a_1, a_0, a, 0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, a, (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

אחר כך המפלה # דלתא # ניתנת במונחים של הקובע של מטריצת סילבסטר על ידי הנוסחה:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

ל # n = 2 # יש לנו:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(אשר אתה עלול למצוא יותר לזיהוי בטופס #Delta = b ^ 2-4ac #)

ל # n = 3 # יש לנו:

#Delta = (=), a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3), 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (לבן) (דלתא) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

את המאפיינים של quadratics (# n = 2 #) ו cubics (# n = 3 #) הם השימושיים ביותר בכך שהם אומרים לך בדיוק כמה אמיתי, חוזר או לא אמיתי אפסים מורכבים פולינום יש.

הפרשנות של מפלה על פולינומים סדר גבוה יותר הוא מוגבל יותר, אבל תמיד יש את הנכס כי פולינום יש אפסים חוזרים אם ורק אם המפלה היא אפס.

#צבע לבן)()#

לקריאה נוספת

ראה