בבקשה תעזור לי בזה, איך לעשות את זה?

תשובה:

#k = 3 #

הסבר:

שימוש במאפיינים של מעריכים כי # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # ו # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, יש לנו

# ^ ^ K = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

לכן #13!# הוא מתחלק על ידי # 24 ^ k # אם ורק אם #13!# הוא מתחלק על ידי # 2 ^ (3k) # והוא מתחלק על ידי # 3 ^ k #.

אנחנו יכולים לומר את הכוח הגדול ביותר של #2# ע"י איזה #13!# הוא מתחלק על ידי אם מסתכלים על הגורמים אשר מתחלקים על ידי #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

כמו אף אחד הגורמים המוזרים לתרום כל הגורמים #2#, יש לנו

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

איפה #M# הוא מספר שלם לא מתחלק על ידי #2#. ככזה, אנחנו יודעים את זה #13!# הוא מתחלק על ידי # 2 ^ (3k) # אם ורק אם #2^10# הוא מתחלק על ידי # 2 ^ (3k) #, כלומר # 3k <= 10 #. כפי ש # k # הוא שלם, זה אומר #k <= 3 #.

הבא, אנחנו יכולים להסתכל על אילו גורמים #13!# הם מתחלקים על ידי #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

כמו שום גורם אחר #13!# לתרום כל הגורמים #3#, זה אומר

# 13! (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

איפה # n # הוא מספר שלם לא מתחלק על ידי #3#. ככזה, אנחנו יודעים את זה #3^5# הוא מתחלק על ידי # 3 ^ k #, כלומר #k <= 5 #.

המספר השלילי הגדול ביותר מספק את האילוצים #k <= 3 # ו #k <= 5 # J #3#, נותן לנו את התשובה שלנו # k = 3 #.

המחשבון יאמת זאת #(13!)/24^3 = 450450#, ואילו #(13!)/24^4=18768.75#