איך משלבים את זה? dx (x²-x + 1) אני תקוע בחלק זה (התמונה הועלתה)

תשובה:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) (2x-1) / sqrt3) + c #

הסבר:

ממשיך הלאה…

תן # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

באמצעות antiderivative מה צריך להיות מחויבים לזיכרון …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) (2x-1) / sqrt3) + c #

זהו אינטגרל קטן מסובך, והפתרון לא נראה ברור בהתחלה. מכיוון שמדובר בחלקיק, אנו עשויים לנסות לשקול את השימוש בטכניקת החלקיקים החלקיים, אך ניתוח מהיר מגלה שהדבר אינו אפשרי מאז # x ^ 2-x + 1 # הוא לא פקטורלי.

ננסה להשיג את האינטגרל הזה לצורה שאנחנו יכולים לשלב. שימו לב לדמיון בין # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # ו # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; אנו יודעים כי אינטגרל האחרון מעריך # arctanx + C #. לכן ננסה להגיע # x ^ 2-x + 1 # בצורה #k (x-a) ^ 2 + 1 #, ולאחר מכן להחיל את # arctanx # הכלל.

נצטרך להשלים את הכיכר ב # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# 2 (sqrt) (3) / 2) ^ 2 (1-x / 1/2)

# (=) (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) / sqrt (3) / 2)

(מבולגן מאוד, אני יודע)

עכשיו שיש לנו את זה בצורה הרצויה שלנו, אנו יכולים להמשיך כדלקמן:

# (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2))) dx #

# = 4 / 3int1 / ((x-1/2) / (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / ((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# (3) / 2arctan (2x-1) / sqrt (3)) + C #

# = (2arctan (2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #