מה ההבדל בין antiderivative לבין אינטגרל?

אין הבדלים, שתי המילים הן מילים נרדפות.

זה תלוי בכמה דברים. איזה אנטי-רדיבטיבי, הגנרל או מסוים? אשר נפרד או בלתי מוגדר? ומי אנחנו שואלים?

כללי Antiderivative ו בלתי מוגבל אינטגרל:

מתמטיקאים רבים אינם מבחינים בין האינטגרל הבלתי מוגדר לבין האנטי-הרביטיבי הכללי. בכל מקרה עבור פונקציה # f # התשובה היא #F (x) + C # איפה #F '(x) = f (x) #..

חלקם (למשל, מחבר הספר ג'יימס סטיוארט) עושים הבחנה. מה שסטיוארט מכנה "האנטי" הכי כללי " # f #, מודה קבועים שונים בכל חוסר שביעות רצון של # f #. לדוגמה, הוא היה עונה כי antiderivative הכללי ביותר של # 1 / x ^ 2 # היא פונקציה מוגדרת פיזית:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # ל #x <0 # ו # (- 1) / x + C_2 # ל #x> 0 #.

אינטגרל בלתי מוגדר של # f #, בטיפול זה, הוא תמיד antiderivative על מרווח כלשהו שבו # f # הוא רציף.

לכן #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, שם הוא הבין כי התחום מוגבל חלק משנה של ריאל חיובי או קבוצת משנה של ריאלים שליליים.

נוגדנים מיוחדים

אנטי-רדיקטיבי מסוים של # f # היא פונקציה # F # (ולא משפחה של פונקציות) אשר #F '(x) = f (x) #.

לדוגמה:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # ל #x <0 # ו # (- 1) / x + 1 # ל #x> 0 #.

הוא אנטי דרבן מסוים של #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Flights you

#G (x) = (- 1) / x-3 # ל #x <0 # ו # (- 1) / x + 6 # ל #x> 0 #.

הוא אנטי דרבן שונה של #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

אינטגרלים מוגדרים

אינטגרל מובהק # f # מ # a # ל # b # היא לא פונקציה. זה מספר.

לדוגמה:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(כדי לסבך עוד יותר את העניינים, ניתן למצוא את האינטגרל המובהק הזה, תוך שימוש במושג המחשוב הבסיסי, חלק 2, על-ידי מציאת תחילה / אינטגרל בלתי-נפרד / כללי קודם, ולאחר מכן ביצוע סומרתמטיקה).

השאלה שלך קשורה למה שהיה באמת "תובנה מפתח" בפיתוח של חצץ על ידי אייזיק ניוטון ו Gottfried לייבניץ.

התמקדות על פונקציות שאינן שליליות, זה יכול להיות תובנה ניסוח כמו: "Antidivatives יכול לשמש למצוא ניתן להשתמש באזורים (אינטגרלים) ובאזורים (אינטגרלים) להגדיר אנטי-רסיבטיביים ". זוהי המהות של משפט היסוד של חשבון.

בלי לדאוג לגבי סכומי רימן (אחרי הכל, ברנרד רימן חי כמעט 200 שנה אחרי ניוטון ולייבניז בכל מקרה) ולקח את הרעיון של האזור כמושג אינטואיטיבי (לא מוגדר), לתפקוד מתמשך לא שלילי #f (x) geq 0 # לכולם #איקס# עם #a leq x leq b #, רק לחשוב על סמל נפרד אינטגרלי # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # כמייצג את האזור תחת גרף # f # מעל #איקס#-200 inter # x = a # ו # x = b #. אם פונקציה אחרת # F # ניתן למצוא כך #F '(x) = f (x) # לכולם #a leq x leq b #, לאחר מכן # F # נקרא antiderivative של # f # על המרווח # a, b # ואת ההבדל #F (b) -F (a) # שווה לערך של האינטגרל המובהק. זה, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. עובדה זו שימושית עבור מציאה את הערך של אינטגרל מסוים (שטח) כאשר הנוסחה של antiderivative ניתן למצוא.

לעומת זאת, אם נעשה את הגבול העליון של סמל אינטגרל משתנה, קוראים לזה # t #, ולהגדיר פונקציה # F # לפי הנוסחה #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (לכן #F (t) # הוא באמת השטח מתחת לגרף של # f # Nep # x = a # ו # x = t #, בהנחה #a leq t leq b #), אז זה פונקציה חדשה # F # מוגדרת היטב, ניתנת לשינוי #F '(t) = f (t) # עבור כל המספרים # t # Nep # a # ו # b #. השתמשנו אינטגרל להגדיר אנטי # f #. עובדה זו שימושית עבור קירוב ערכים של antiderivative כאשר אין נוסחה עבור אותו ניתן למצוא (באמצעות שיטות אינטגרציה נומרית כמו שלטון סימפסון). לדוגמה, הוא משמש כל הזמן על ידי סטטיסטיקאים כאשר בקירוב אזורים תחת עקומת רגיל. הערכים של antiderivative מיוחד של עקומת רגיל רגיל ניתנים לעתים קרובות בטבלה בספרי סטטיסטיקה.

במקרה שבו # f # יש ערכים שליליים, אינטגרל מובהק יש לחשוב במונחים של "אזורים חתומים".