כדור הוא ירד ישר למטה מגובה של 12 מטרים. על להכות את הקרקע היא מחזירה לאחור 1/3 המרחק הוא נפל. עד כמה הכדור ייסע (הן כלפי מעלה והן כלפי מטה) לפני שזה יירגע?

תשובה:

הכדור ייסע 24 מטרים.

הסבר:

בעיה זו דורשת התחשבות בסדרה אינסופית. שקול את ההתנהגות בפועל של הכדור:

תחילה הכדור נופל 12 מטרים.

הבא הכדור קופץ למעלה #12/3 = 4# רגל.

הכדור ואז נופל 4 מטרים.

בכל קפיצה רצופה, הכדור נוסע

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ # רגליים, היכן # n # הוא מספר הקפיצות

לכן, אם נדמיין שהכדור מתחיל #n = 0 #, אז התשובה שלנו ניתן להשיג מן הסדרה הגיאומטרית:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

הערה #-12# מונח תיקון, זה כי אם נתחיל # n = 0 # אנו סופרים קפיצה 0th של 12 מטרים ו 12 מטרים למטה. במציאות הכדור רק נוסע חצי מזה, כפי שהוא מתחיל באוויר.

אנו יכולים לפשט את הסכום שלנו ל:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

זוהי רק סדרה גיאומטרית פשוטה, אשר עוקב אחר הכלל כי:

# # (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r = i = 1 / (1 - r) #

כל עוד # | r | <1 #

זה מניב פתרון פשוט לבעיה שלנו:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# רגל.