מהי שיטת הטרנספורמציה החדשה לפתרון משוואות ריבועיות?

תגיד למשל יש לך …

# x ^ 2 + bx #

זה יכול להפוך ל:

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

בואו לגלות אם הביטוי לעיל מתורגם חזרה # x ^ 2 + bx #…

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = (x + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) # #

# = (x + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = x ^ ^ 2 + bx #

התשובה היא כן.

עכשיו, חשוב לציין את זה # x ^ 2-bx # (שים לב סימן מינוס) יכול להפוך:

# (x-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

מה שאתה עושה כאן השלמת הריבוע. אתה יכול לפתור בעיות ריבועיות רבות על ידי השלמת הריבוע.

הנה דוגמה אחת העיקרית של שיטה זו בעבודה:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax = 2 + bx) = 1 / a * -c #

# x ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) # #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# x = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -qqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

את הנוסחה הריבועית המפורסמת ניתן לגזור על ידי השלמת הריבוע.

שיטת השינוי החדשה לפתרון משוואות ריבועיות.

תיק 1. פתרון סוג # x ^ 2 + bx + c = 0 #. פתרון פירושו למצוא 2 מספרים בידיעה סכום שלהם (# -b #) לבין המוצר שלהם (# c #). השיטה החדשה מלחינה זוגות גורמים (# c #), ובאותה עת, חל על שלטים של סימנים. לאחר מכן, הוא מוצא את זוג שסכום שווה ל (# b #) או (# -b #).

דוגמה 1. לפתור # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

פתרון. חיבור גורם זוגות #c = -102 #. שורשים יש סימנים שונים. להמשיך: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# הסכום האחרון # (- 6 + 17 = 11 = -b) # # אז 2 השורשים האמיתיים הם: #-6# ו #17#. ללא פקטורינג על ידי קיבוץ.

מקרה 2. פתרון סוג רגיל: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

השיטה החדשה הופכת משוואה זו (1) ל: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

לפתור את המשוואה (2) כמו שעשינו CASE 1 כדי לקבל את השורשים 2 אמיתי # y_1 # ו # y_2 #. לאחר מכן, לחלק # y_1 # ו # y_2 # על ידי מקדם כדי לקבל את השורשים 2 אמיתי # x_1 # ו # x_2 # של משוואה מקורית (1).

דוגמה 2. לפתור # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240 # #

משוואת טרנספורמציה: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). פתרו משוואה) 2 (. שני השורשים הם חיוביים (כלל שלטים). חיבור גורם זוגות # a * c = 240 #. להמשיך: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. סכום אחרון זה # (5 + 48 = 53 = -b) #. לאחר מכן, 2 השורשים האמיתיים הם: # y_1 = 5 # ו

# y_2 = 48 #. חזרה למשוואה המקורית (1), 2 השורשים האמיתיים הם: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # ו # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # לא factoring ופתרון binomials.

היתרונות של שיטת המרה חדשה הם: פשוט, מהיר, שיטתי, לא ניחוש, לא factoring ידי קיבוץ ולא פתרון binomials.