מה הם המקסימום והמינימום המקומיים של f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

תשובה:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

פונקציה זו יש אסימפטוט אנכי ב # x = 2 #, גישות #1# מלמעלה כמו x הולך # + oo # (אסימפטוט אופקית) וגישות #1# מלמטה כמו x הולך # -oo #. כל הנגזרים אינם מוגדרים # x = 2 # גם כן. יש מינימום מקומי אחד ב # x = 0 #, # y = 0 # (כל הצרות על מקור!)

הערה ייתכן שתרצה לבדוק את המתמטיקה שלי, אפילו את הטוב ביותר מאיתנו ירידה סימן שלילי מוזר וזה שאלה ארוכה.

הסבר:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

פונקציה זו יש אסימפטוט אנכי ב # x = 2 #, כי המכנה הוא אפס # x = 2 #.

זה מתקרב #1# מלמעלה כמו x הולך # + oo # (אסימפטוט אופקית) וגישות #1# מלמטה כמו x הולך # -oo #, כי עבור ערכים גדולים # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # עם # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # ל #x> 0 # ו # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # ל #x <0 #.

כדי למצוא מקסימום / min אנחנו צריכים את נגזרות הראשון והשני.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # השתמש בכללי המנה!

# (d) x / 2 (d / dx (x-2) ^ 2 (x-2)) ^ 4}) #.

באמצעות כלל לכוחות ולכלל השרשרת אנו מקבלים:

# 2 (x-2) / dx = {2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2).

עכשיו אנחנו מסדירים קצת …

(x-2) ^ 4 / dx = = 2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)

(x-2) + 4x ^ 2 / x (2) + 4x ^ 2 ^ / dx = {2x ^ 3xx ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2}

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

עכשיו נגזרת השני, נעשה כמו הראשון.

# (dx 2) x / dx = 2 = dx = 2 = {d / dx (xx = 2x xx) -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# (x = 2) (4 x - 2 + 8x) (4 x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# (x = 2) (4 x - 2 + 8x) (4 x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

זה מכוער אבל אנחנו רק צריכים לחבר ולשים לב איפה זה מתנהג רע.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # פונקציה זו אינה מוגדרת ב # x = 2 #, כי אסימפטוט, אבל נראה בסדר בכל מקום אחר.

אנחנו רוצים לדעת היו מקסימום / דקות הם …

קבענו # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # זה אפס כאשר המונה הוא אפס ואם המכנה לא.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # או # 4x (2-x) = 0 # זה אפס ב # x = 0 # ו # x = 2 #, אבל אנחנו לא יכולים לקבל מקס / min היו נגזרת / הפונקציה אינם מוגדרים, ולכן האפשרות היחידה היא # x = 0 #.

"מבחן הנגזרת השני"

עכשיו אנחנו מסתכלים על נגזרת השני, מכוער כמו שזה …

# (x-2) ^ 4 - (4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

כמו הפונקציה ואת הנגזרת הראשונה זה לא מוגדר ב # x = 2 #, אבל נראה בסדר בכל מקום אחר.

אנחנו תקע # x = 0 # לתוך # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, הוא לא אפס מספר כזה יפה לחבר אותו?

#=128/256# כל זה #1/2#

#1/2 >0# לכן # x = 0 # היא מינימום מקומי.

כדי למצוא את הערך y אנחנו צריכים לחבר אותו לתוך הפונקציה.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # המקור!