איך מוצאים את כל הפתרונות של 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # ל

#x ב- {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # # איפה #n in ZZ #

לפתור: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

ראשית, החלף # cos ^ 2 x # על ידי # (1 - sin = 2 x) #

# 2 (1 - sin = 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

התקשר # sin x = t #, יש לנו:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

זוהי משוואה ריבועית של הצורה # at ^ 2 + bt + c = 0 # כי ניתן לפתור על ידי קיצור:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

או פקטורינג # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

שורש אמיתי אחד הוא # t_1 = -1 # והאחר # t_2 = 1/2 #.

הבא לפתור את 2 פונקציות טריג בסיסי:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (ל #n in ZZ #)

ו

# t_2 = חטא x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

או

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

בדוק עם משוואה) 1 (:

#cos (3pi / 2) = 0; חטא (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (נכון)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; חטא (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (נכון)