מהו הלוגריתם של מספר שלילי?

לוגריתמים של מספרים שליליים אינם מוגדרים במספרים הריאליים, באותו אופן שבו שורשים ריבועיים של מספרים שליליים אינם מוגדרים במספרים הריאליים. אם אתה צפוי למצוא את היומן של מספר שלילי, התשובה של "לא מוגדר" מספיק ברוב המקרים.

זה J אפשר להעריך אחד, עם זאת, התשובה תהיה מספר מורכב. (מספר הטופס #a + bi #, איפה #i = sqrt (-1) #)

אם אתה מכיר מספרים מורכבים מרגיש נוח לעבוד איתם, ואז לקרוא על.

ראשית, נתחיל עם מקרה כללי:

#log_b (-x) =? #

נשתמש בכללי השינוי של הבסיס ונמיר לוגריתמים טבעיים, כדי להקל על התהליך מאוחר יותר:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

שים לב ש #ln (-x) # הוא אותו דבר #ln (-1 * x) # #. אנו יכולים לנצל את המאפיין התוספת של לוגריתמים, ולהפריד את החלק הזה לשני יומנים נפרדים:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

עכשיו הבעיה היחידה היא להבין מה #ln (-1) # J זה אולי נראה כמו דבר בלתי אפשרי להעריך בהתחלה, אבל יש משוואה מפורסמת למדי הידועה בשם אוילר של זהות שיכול לעזור לנו.

זהות אוילר קובעת:

# e ^ (ipi) = -1 #

תוצאה זו באה מסדרות סדרת כוח של סינוס וקוסינוס. (אני לא אסביר את זה גם מעמיק, אבל אם אתה מעוניין, יש כאן דף נחמד אשר מסביר קצת יותר)

לעת עתה, הבה ניקח את היומן הטבעי של שני הצדדים של זהות אוילר:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

פשוטה:

#ipi = ln (-1) #

אז עכשיו, כשאנחנו יודעים מה #ln (-1) # היא, אנחנו יכולים להחליף חזרה לתוך המשוואה שלנו:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

עכשיו יש לך נוסחה למציאת יומנים של מספרים שליליים. אז, אם אנחנו רוצים להעריך משהו כמו # log_2 10 #, אנחנו יכולים פשוט לחבר כמה ערכים:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #