תשובה:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
הסבר:
ומכיוון שהמכנה עומד כבר, כל מה שאנחנו צריכים לעשות שברים חלקי הוא לפתור עבור הקבועים:
# (3x ^ 2-x) / (x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7) (= X + B) / (x ^ 2 + 2) + C (x-3) + D / (x-7) #
שים לב שאנחנו צריכים גם #איקס# ו מונח קבוע בצד שמאל ביותר שבריר כי המונה הוא תמיד של 1 מעלות נמוך יותר מהמכנה.
אנחנו יכולים להכפיל את ידי מכנה בצד שמאל, אבל זה יהיה כמות עצומה של עבודה, אז אנחנו יכולים במקום להיות חכם להשתמש בשיטת הכיסוי.
אני לא אעבור על התהליך בפירוט, אבל בעצם מה שאנחנו עושים הוא לגלות מה הופך את המכנה שווה אפס (במקרה של # C # זה # x = 3 #), ואת פקוק אותו בצד שמאל בצד והערכת תוך כיסוי הגורם המתאים קבוע זה נותן:
# (= 3) 3 - 3) / (3 ^ 2 + 2) (טקסט / / /)) (3-7)) = - 6/11 #
אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר # D #:
# (= 3 = 7 = ^ 7) / (7 ^ 2 + 2) (7-3) (טקסט (////)) = 35/51 #
שיטת הכיסוי פועלת רק עבור גורמים לינאריים, ולכן אנחנו נאלצים לפתור עבור # A # ו # B # תוך שימוש בשיטה המסורתית והכפלה על ידי המכנה השמאלי של היד:
# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) x-3) #
אם נכפיל את כל הסוגריים ונשווה את כל המקדמים של הסוגים השונים #איקס# ותנאים קבועים, אנו יכולים לגלות את הערכים של # A # ו # B #. זה חישוב ארוך למדי, אז אני פשוט להשאיר קישור למי שמעוניין:
לחץ כאן
# A = -79 / 561 #
# B = -94 / 561 #
זה נותן כי אינטגרל שלנו הוא:
# (/ x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #
שני הראשונים ניתן לפתור באמצעות תחליפים פשוטים למדי של המכנים:
# / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #
אנחנו יכולים לפצל את אינטגרל הנותרים לשניים:
# dx = int + 94 / x (+ 2) + dx + int / 94 / x (+ 2) + dx + int / 94 / 2 + 2) dx #
אני אתקשר שמאל אחד אינטגרל 1 ואת הזכות 1 אינטגרל 2.
אינטגרל 1
אנחנו יכולים לפתור את זה אינטגרלי על ידי החלפת U של # u = x ^ 2 + 2 #. הנגזר הוא # 2x #, אז אנחנו מתחלקים # 2x # להשתלב ביחס # u #:
# 79 /int = x / x = 2 + 2) dx = 79int Cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u + + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #
אינטגרל 2
אנחנו רוצים לקבל את זה אינטגרל לתוך הטופס עבור # tan ^ -1 #:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
אם אנחנו מציגים תחליף עם # x = sqrt2u #, נוכל להפוך את האינטגרל שלנו לצורה זו. כדי להשתלב ביחס # u #, אנחנו צריכים להכפיל # sqrt2 # (שכן לקחנו את הנגזר ביחס # u # במקום #איקס#):
##Int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / (sqrt2u) ^ 2 + 2) du =
# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #
# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #
השלמת האינטגרל המקורי
עכשיו שאנחנו יודעים מה אינטגרל 1 אינטגרל 2 שווה, אנחנו יכולים להשלים את האינטגרל המקורי כדי לקבל את התשובה הסופית שלנו:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
