מהי הנגזרת של x ^ (1 / x)?

תשובה:

# dy / dx = x ^ (1 / x) (1-lnx) / x ^ 2) #

הסבר:

במצבים אלה שבהם מועלית פונקציה לכוחו של פונקציה, נשתמש בידול הלוגריתמי ובהבחנה משתמעת כדלקמן:

# y = x ^ (1 / x) #

# lny = ln (x ^ (1 / x)) #

מן העובדה #ln (a ^ b) = blna #:

# lny = lnx / x #

הבחנה (הצד השמאלי יהיה מובחן במרומז):

# 1 / y * dy / dx = (1-lnx) / x ^ 2 #

לפתור עבור # dy / dx #:

# dy / dx = y ((1-lnx) / x ^ 2) #

נזכיר את זה # y = x ^ (1 / x) #:

# dy / dx = x ^ (1 / x) (1-lnx) / x ^ 2) #