# Q.1 # אם #אלפא בטא# הם שורשי המשוואה # x ^ 2-2x + 3 = 0 # לקבל את המשוואה ששורשיה # אלפא ^ 3-3 אלפא ^ 2 + 5 אלפא -2 # ו # beta ^ 3-beta ^ 2 + ביתא + 5 #?
תשובה
נתון למשוואה # x ^ 2-2x + 3 = 0 #
# => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #
תן # אלפא = 1 + sqrt2i ובטא = 1-sqrt2i #
עכשיו בואו
# gamma = אלפא ^ 3-3 אלפא ^ 2 + 5 אלפא -2 #
# => גמא = אלפא ^ 3-3 אלפא ^ 2 + 3 אלפא -1 + 2 אלפא 1 #
# => gamma = (alpha-1) ^ 3 + אלפא-1 + אלפא #
# => gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #
# => gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #
ותן
# delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + ביתא + 5 #
# => דלתא = ביתא ^ 2 (בטא -1) + גרסת ביתא + 5 #
# => דלתא = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #
# => דלתא = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #
# => דלתא = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #
אז למשוואה הריבועית יש שורשים #gamma and delta # J
# x ^ 2- (+ gamma + delta) x + gammadelta = 0 #
# => x ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #
# => x ^ 2-3x + 2 = 0 #
# Q.2 # אם שורש אחד של המשוואה # ax ^ 2 + bx + c = 0 # להיות הכיכר של האחר, להוכיח את זה # b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #
תן שורש אחד להיות # אלפא # ואז שורש אחר יהיה # אלפא ^ 2 #
לכן # אלפא + 2 + אלפא = -b / a #
ו
# אלפא ^ 3 = c / a #
# => אלפא ^ 3-1 = c / a-1 #
# => (אלפא 1) (אלפא + 2 + אלפא + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #
# => (alpha-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #
# => (alpha-1) (a-b) / a) = (c-a) / a #
# => (alpha-1) = (c-a) / (a-b) #
# a> אלפא = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #
עכשיו #alpha # להיות אחד השורשים של המשוואה הריבועית # ax ^ 2 + bx + c = 0 # אנחנו יכולים לכתוב
# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #
# (a-b)) + c = 0 # (a = b)
# = a (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #
# => ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #
# => b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #
הוכיח
אלטרנטיבי
# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #
# => aalpha + b + c / alpha = 0 #
# = a (c / a) ^ (1/3) + b + c / (c / a) ^ (1/3)) = 0 #
# => c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #
# 3 (3/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (b) ^ 3 #
# 3) 3) 3) 3 (3) a3) a ^ 3) 2/3) (^ 3 +) c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) a ^ (3/3) xxc ^ (2/3) a (1/3) (c ^ (1/3) a (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #
# => ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-b) = (- b) ^ 3 #
# => b ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #
