כיצד החלפת טריגונומטריה שונה החלפה u?

תשובה:

בדרך כלל, החלפה טריג משמש אינטגרלים של הטופס # x ^ 2 +-^ ^ 2 # או #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) # #, בזמן # u #כאשר משתמשים בפונקציה ובנגזרת שלה, מופיעים האינטגרלים.

הסבר:

אני מוצא את שני סוגי תחליפים מרתקים מאוד בגלל ההיגיון מאחוריהם. שקול, ראשית, החלפת טריג. זה נובע מן משפט Pythagorean וזהויות פיתגורס, כנראה שני המושגים החשובים ביותר טריגונומטריה. אנו משתמשים בזה כאשר יש לנו משהו כמו:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # איפה # a # הוא קבוע

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # שוב בהנחה # a # הוא קבוע

אנחנו יכולים לראות את שני אלה נראים נורא # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, שהוא משפט פיתגורס. זה מתייחס שני הצדדים של המשולש הימני המשולש hypotenuse. אם אנחנו מציירים את זה, אנחנו יכולים לראות את זה כן, # x ^ 2 + a ^ 2 # יכול להיות מיוצג עם משולש:

התמונה מאוד שימושית, כי זה אומר לנו # tantheta = x / a #, או # atantheta = x #; זה מהווה את הבסיס של תחליף טריג. יתר על כן (וכאן זה נהיה מדהים), כאשר אתה מחליף # x = tantheta # לתוך # x ^ 2 + a ^ 2 #, אתה בסופו של דבר עם זהות פיתגורס, במקרה זה # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. לאחר מכן תוכל לעשות כמה לפשט # sec ^ 2theta # אם אתה צריך, ואת אינטגרל הוא קל על בחוץ. כנ"ל לגבי המקרים # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) # #, ו #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

ניתן להשתמש בתת טריג. עבור הרבה בעיות, אבל אתה יכול להשתמש # u #- ניתן לטעון עוד יותר. אנו משתמשים בטכניקה זו כאשר יש לנו משהו כמו # intlnx / xdx #. אם אנו שומרי מצוות, אנו רואים שיש לנו שתי פונקציות - # lnx # ו # 1 / x #. ואם נזכור את הנגזרות הבסיסיות שלנו, אנחנו יודעים # d / dxlnx = 1 / x # ל #x> 0 # (או # d / dxlnabs (x) = 1 / x # ל #x! = 0 #). אז הרעיון הוא להגיד תן # u = lnx #; לאחר מכן # (du) / dx = 1 / x # ו # du = dx / x #. הבעיה, לאחר ביצוע החלפות אלה, מפשט # intudu # - אינטגרל הרבה יותר קל מאשר קודם.

בעוד ששתי הטכניקות הללו עשויות להיות שונות, הן משרתות את אותה מטרה: כדי לצמצם את האינטגרל לצורה פשוטה יותר, כך שנוכל להשתמש בטכניקות בסיסיות. אני בטוח ההסבר שלי אינו מספיק כדי לכלול את כל הפרטים הספציפיים על תחליפים אלה, אז אני מזמין אחרים לתרום.