מהו התחום והטווח של f (x) = {x ^ 2 - 81} / {x ^ 2 - 4x}?

תשובה:

(0, 4) = 0,4} = (- oo, 0) uu (0,4) uu (4, + oo) #, טווח = # (d_f) = (- oo, 81-9sqrt65) / 8 uu (81 + 9sqrt65) / 8, + oo) #

הסבר:

#f (x) = (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) #

כדי להגדיר את הפונקציה הזאת אנחנו צריכים # x ^ 2-4x! = 0 #

יש לנו # x ^ 2-4x = 0 # #<=># #x (x-4) = 0 # #<=># # (x = 0, x = 4) #

לכן (0, 4) = 0,4} = (- oo, 0) uu (0,4) uu (4, + oo) #

ל #איקס## inD_f #, #f (x) = (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) # #=# # (x-9) (x + 9)) / (x ^ 2-4x) #

#f (x) = 0 <=> (x = 9, x = -9) # #

• # (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) = y # #<=># # x ^ 2-81 = y (x ^ 2-4x) #

# x ^ 2-81 = yx ^ 2-4xy #

• מוסיף #color (ירוק) (4xx) # בשני הצדדים,

# x ^ 2-81 + 4yx = yx ^ 2 #

• תקצוב #color (אדום) (yx ^ 2) # משני הצדדים

# x ^ 2-81 + 4yx-yx ^ 2 = 0 # #<=>#

# x ^ 2 (1-y) + 4xy-81 = 0 #

זוהי משוואה ריבועית עבור #איקס# לכן

# a = 1-y #

# b = 4y #

# c = -81 #

אנחנו צריכים # D = b ^ 2-4 * a * c> = # #<=>#

# 16y ^ 2-4 (1-y) * (- 81)> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2 + 324 (1-y)> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2-324y + 324> = 0 # #<=>#

# 4y ^ 2-81y + 81> = 0 #

#y_ (= 2) = (- b + -qqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

#=# # (81 + -sqrt (6561-1296)) / 8 #

#=# # (81 + -sqrt (5265)) / 8 #

#=# # (81 + -9sqrt65) / 8 #

# 4y ^ 2-81y + 81> = 0 # #<=># # (y <= (81-9sqrt65) / 8 # או #y> = (81 + 9sqrt65) / 8) #

לכן, #f (x) <= (81-9sqrt65) / 8 # או #f (x)> = (81 + 9sqrt65) / 8 #

אשר אומר, # (d_f) = (- oo, 81-9sqrt65) / 8 uu (81 + 9sqrt65) / 8, + oo) #