שאלה # 3cbbc

תשובה:

# int_0 ^ (pi / 4) (חטא x + cos x) / (3 + חטא 2x) dx = 0.2746530521 #

הסבר:

הפתרון שלי הוא על ידי שלטון סימפסון, נוסחת קירוב

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# h / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (n-1) + y_n) #

איפה # h = (b-a) / n # ו # b # הגבול העליון # a # הגבול התחתון

ו # n # כל מספר אפילו (גדול יותר)

אני בחרתי

# n = 20 #

נתון # b = pi / 4 # ו # a = 0 #

# h = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 #

זה איך לחשב. כל אחד # y = (חטא x + cos x) / (3 + חטא 2x) # ישתמש ערך שונה

ל # y_0 #

# x_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #

# y_0 = (חטא x_0 + cos x_0) / (3 + חטא 2x_0) #

# y_0 = (חטא (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #

#color (אדום) (y_0 = 0.3333333333333) #

ל # 4 * y_1 #

# x_1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (חטא x_1 + cos x_1) / (3 + חטא 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (חטא (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + חטא (2 (pi / 80)) #

#color (אדום) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #

ל # 2 * y_2 #

# x_2 = (a + 2 * h) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (חטא x_2 + cos x_2) / (3 + חטא 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (חטא (2pi) / 80) + cos (2pi) / 80) / (3 + חטא 2 (2pi) / 80)) #

#color (אדום) (2 * y_2 = 0.68138682514816) #

ל # 4 * y_3 #

# x_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (חטא x_3 + cos x_3) / (3 + חטא 2x_3) #

# 3 * y_3 = 4 (חטא) (3pi) / 80) + cos (3pi) / 80) / (3 + חטא 2 (3pi) / 80)) #

#color (אדום) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #

ל # 2 * y_4 #

# x_4 = (+ 4 * h) = (0 + 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (חטא x_4 + cos x_4) / (3 + חטא 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (חטא ((4pi) / 80) + cos (4pi) / 80) / (3 + חטא 2 ((4pi) / 80)) #

#color (אדום) (2 * y_4 = 0.69151824096418) #

השאר הם כדלקמן

#color (אדום) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #

#color (אדום) (2 * y_6 = 0.69821575035862) #

#color (אדום) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #

#color (אדום) (2 * y_8 = 0.70242415421322) #

#color (אדום) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #

#color (אדום) (2 * y_10 = 0.70489632049832) #

#color (אדום) (4 * y_11 = 1.4113400771087) #

#color (אדום) (2 * y_12 = 0.7062173920012) #

#color (אדום) (4 * y_13 = 1.4131786935757) #

#color (אדום) (2 * y_14 = 0.7068293103707) #

#color (אדום) (4 * y_15 = 1.4139474301694) #

#color (אדום) (2 * y_16 = 0.70705252678954) #

#color (אדום) (4 * y_17 = 1.414179352209) #

#color (אדום) (2 * y_18 = 0.70710341105534) #

#color (אדום) (4 * y_19 = 1.4142131417552) #

#color (אדום) (y_20 = 0.35355339059328) #

סך כל אלה #color (אדום) ("סכום" = 20.98194762) #

# (0 / + חטא 2) dx = (ח / 3) * "סכום" # #

# (+ חטא 2x) dx = (pi / 80) / 3) * 20.98194762 #

# (+ חטא 2) dx = צבע (אדום) (0.2746530521) # #

חלופה היא פשוט להשתמש במחשבון גרפיקה במהלך כאשר אינטגרציה מסובכת מתעוררת עם ערך מדויק יותר

#color (אדום) (= 0.2746530722) #

אלוהים יברך … אני מקווה שההסבר שימושי.

תשובה:

# (+) חטא (2)) dx = ln (3) / 4 #

הסבר:

אנו נמשיך באמצעות החלפה. ראשית, נעבור כמה אלגברה כדי לקבל את integrand לצורה רצוי יותר.

# 3 + חטא (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin = 2 (x) -cos ^ 2 (x) #

# = 4 - (חטא (x) -cos (x)) ^ 2 #

# (2) חטא (x) - cos (x)) (2 - חטא (x) + cos (x)) #

# (+) (+) (+) (+) (+ x) + (+) (+ חטא) x (x) (2-sin (x) + cos (x))) #

# (חטא) x (x) + cos (x)) / (4 (2 + חטא (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #

# = (חטא (x) + cos (x)) / 4 xx #

# xx4 / (2) חטא (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (חטא (x) + cos (x)) / 4 xx #

# x (+) (x) + cos (x)) #

# (1 / 4xx) (1) / 4xx (x) + / cxx (x) / (2) חטא (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-sin (x) -cos (x)) / חטא (x) + cos (x)) #

באמצעות זאת, אנו יכולים לפצל את האינטגרל:

# (0) + חטא (2x) dx =

# (1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (חטא (x) + cos (x)) / (2 + חטא (x) -cos (x) dx #

# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- חטא (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x) dx #

עבור אינטגרל הראשון, באמצעות החלפת #u = 2 + חטא (x) - cos (x) # נותן לנו #du = (חטא (x) + cos (x)) dx # וגבולות האינטגרציה משתנים מ #0# ו # pi / 4 # ל #1# ו #2#. כך אנו מקבלים

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (חטא x) + cos (x)) / (2 + חטא (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 (ln | u |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) #

# = 1 / 4ln (2) #

עבור אינטגרל השני, באמצעות החלפת #u = 2 - sin (x) + cos (x) # נותן לנו #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # וגבולות האינטגרציה משתנים מ #0# ו # pi / 4 # ל #3# ו #2#. כך אנו מקבלים

# 1/4/6 (+ / c) x (x / x) x) x (x /

# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) #

# = 1/4 (ln (3/2)) #

החלפת הערכים עבור אינטגרלים נותן לנו התוצאה הרצויה שלנו:

# (+) (+) (+) (+) (+) (3) + 1 / 4ln (1/4)

# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) #

# = 1 / 4ln (2 * 3/2) #

# = ln (3) / 4 #