מה גדול יותר: 1000 ^ (1000) או 1001 ^ (999)?

תשובה:

#1000^1000 > 1001^999#

הסבר:

בהתחשב במשוואה

# 1000 ^ 1000 = 1001 ^ x #

אם #x> 999 #

לאחר מכן

#1000^1000 > 1001^999#

Other

#1000^1000 < 1001^999#

Applaying את השינוי ביומן לשני הצדדים.

# 1000 log 1000 = x log 1001 #

אבל

# (+) 1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 (n!) (d / (1 / dx) log x) _ (x = 1000) 1 ^ n #.

סדרה זו היא חלופית במהירות מתכנס כל כך

# log1001 בערך log1000 + 1/1000 #

החלפה פנימה

#x = 1000 log1000 / (log1000 + 1/1000) = 1000 (3000/3001) #

אבל #3000/3001 = 0.999667# לכן

#x = 999.667> 999 # לאחר מכן

#1000^1000 > 1001^999#

תשובה:

הנה פתרון חלופי באמצעות משפט binomial להוכיח:

#1001^999 < 1000^1000#

הסבר:

לפי המשפט הבינומי:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# + 1 / (0!) + 1 / (1!) + 1 / (2!) + 1 / (3!) + … = e ~~ 2.718 #

לכן:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#color (לבן) (1001 ^ 999) = (1 + 1/1000) ^ 999 * 1000 ^ 999 #

#color (לבן) (1001 ^ 999) <e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

תשובה:

#1000^1000 > 1001^999#

הסבר:

#Use log 1000 = log 10 ^ 3 = 3 ו- log 1001 = 3.0004340 …

הנה, הלוגריתמים של השניים הם

#log (1000 ^ 1000) = 1000 log1000 = (1000) (3) = 3000 # ו

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997.4 #…

כמו יומן הוא פונקציה הגוברת, #1000^1000 > 1001^999#.