אם הרדיוס של כדור עולה בקצב של 4 ס"מ לשנייה, כמה מהר הוא נפח הגדלת כאשר הקוטר הוא 80 ס"מ?

תשובה:

12,800cm3s

הסבר:

זהו קלאסי קשורים יומיים חליפין. הרעיון מאחורי תעריפים קשורים הוא שיש לך מודל גיאומטרי זה לא משתנה, אפילו כמו המספרים לעשות שינוי.

לדוגמה, צורה זו תישאר כדור גם כאשר היא משנה את הגודל. היחס בין נפח השמע לבין הרדיוס הוא

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

כל עוד זה יחסים גיאומטריים אינו משתנה ככל שהתחום גדל, אנו יכולים לגזור את הקשר הזה במשתמע, ולמצוא קשר חדש בין שיעורי השינוי.

הבידול המשתמע הוא המקום בו אנו שואבים כל משתנה בנוסחה, ובמקרה זה אנו שואבים את הנוסחה ביחס לזמן.

אז אנחנו לוקחים את הנגזרת של הכדור שלנו:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (dV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

למעשה ניתנו לנו # (dr) / (dt) #. זה # 4 (cm) / s #.

אנו מעוניינים ברגע שבו קוטר הוא 80 ס"מ, אשר כאשר רדיוס יהיה 40 ס"מ.

שיעור הגידול בנפח הוא # (dV) / (dt) #, וזה מה שאנחנו מחפשים, כך:

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (dv) / (dt) = 4pi (40cm) ^ 2 (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 12,800 (cm ^ 3) / s #

ואת היחידות אפילו לעבוד נכון, שכן אנחנו צריכים לקבל נפח מחולק בזמן.

מקווה שזה עוזר.

הרדיוס של בלון כדורית עולה בקצב של 2 ס"מ לדקה. כמה מהר הוא נפח משתנה כאשר רדיוס הוא 14 ס"מ?

1568 * pi cc / min אם הרדיוס הוא r, אז קצב השינוי r ביחס לזמן t, d / dt (r) = 2 ס"מ / דקה נפח כפונקציה של r רדיוס עבור אובייקט כדורית היא V ( r = 4/3 * pi * r ^ 3 אנחנו צריכים למצוא d / dt (V) ב r = 14cm עכשיו, d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) אבל d / dt (r) = 2cm / minute. לכן, d / dt (V) ב r = 14 ס"מ הוא: 4pi * 14 ^ 2 * 2 מעוקב ס"מ / דקה = 1568 * pi cc / דקה

נפח הקובייה גדל בקצב של 20 סמ"ק לשנייה. כמה מהר, בסנטימטרים רבועים לשנייה, שטח פני השטח של הקובייה גדל ברגע שבו כל קצה של הקובייה הוא 10 ס"מ?

קחו את הקצה של הקוביה משתנה עם הזמן, כך היא פונקציה של זמן l (t); לכן:

מים דולפים מתוך מיכל חרוט הפוך בקצב של 10,000 cm3 / min באותו זמן מים נשאבים לתוך הטנק בקצב קבוע אם הטנק יש גובה של 6 מטר ואת הקוטר בראש הוא 4 מ 'ו אם מפלס המים עולה בקצב של 20 ס"מ לדקה כאשר גובה המים הוא 2m, איך אתה מוצא את קצב שבו המים נשאבים לתוך הטנק?

תן V להיות נפח המים במיכל, ב ס"מ 3; תן להיות עומק / גובה של מים, ס"מ; ולתת r להיות רדיוס של פני המים (על גבי), ס"מ. מכיוון שהטנק הוא חרוט הפוך, כך גם מסת המים. מכיוון שהטנק בעל גובה של 6 מ 'ורדיוס בחלק העליון של 2 מ', משולשים דומים מרמזים על כך frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 כך ש- h = 3r. נפח קונוס המים ההופך הוא V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. כעת יש להפריד בין שני הצדדים ביחס לזמן t (בדקות) כדי לקבל את frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (כלל השרשרת משמש שלב). אם V_ {i} הוא נפח המים שנשפך פנימה, לאחר מכן frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot ( frac {200