הרדיוס של בלון כדורית עולה בקצב של 2 ס"מ לדקה. כמה מהר הוא נפח משתנה כאשר רדיוס הוא 14 ס"מ?

הרדיוס של בלון כדורית עולה בקצב של 2 ס"מ לדקה. כמה מהר הוא נפח משתנה כאשר רדיוס הוא 14 ס"מ?
Anonim

תשובה:

# 1568 * pi # cc / דקה

הסבר:

אם הרדיוס הוא r, אז קצב השינוי r ביחס לזמן t, # d / dt (r) = 2 # ס"מ / דקה

נפח כפונקציה של r רדיוס עבור אובייקט כדורית

#V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

אנחנו צריכים למצוא # d / dt (V) # ב r = 14cm

עכשיו, # d / dt = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) #

אבל # d / dt (r) # = 2cm / דקה. לפיכך, # d / dt (V) # ב- r = 14 cm הוא:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # מעוקב ס"מ / דקה # = 1568 * pi # cc / דקה

השמש זורחת כדור שלג כדורית של נפח 340 ft3 הוא נמס בקצב של 17 מטרים מעוקבים לשעה. כאשר הוא נמס, זה נשאר כדורית. באיזה קצב הוא רדיוס המשתנה לאחר 7 שעות?

השמש זורחת כדור שלג כדורית של נפח 340 ft3 הוא נמס בקצב של 17 מטרים מעוקבים לשעה. כאשר הוא נמס, זה נשאר כדורית. באיזה קצב הוא רדיוס המשתנה לאחר 7 שעות?

V = 4 / 3r ^ 3pi (dv) / (dt) = 4/3 (3r ^ 2) (dr) / dtpi (dv) / (dt) = (4r ^ 2) (dr) / (dt) pi עכשיו אנחנו מסתכלים על הכמויות שלנו כדי לראות מה אנחנו צריכים ומה יש לנו. אז, אנחנו יודעים את קצב שבו נפח משתנה. אנחנו גם יודעים את עוצמת הקול הראשונית, אשר יאפשר לנו לפתור את הרדיוס. אנחנו רוצים לדעת את הקצב שבו רדיוס משתנה לאחר 7 שעות. 340 = 4 / 3r ^ 3pi 255 = r = 3pi 255 / pi = r = 3 root (3) (255 / pi) = r אנחנו מחברים ערך זה עבור "r" בתוך הנגזר: (dV) / (dt) = 4 (4) (3) (255 / pi)) ^ 2 (dr) / dt) pi אנו יודעים כי (dV) / dt) = -17, כך לאחר 7 שעות, זה היה נמס -119 "רגל "^ 3. -119 = 4 (שורש (3) (255 / pi)) ^ 2

מים דולפים על הרצפה יוצרים בריכה עגולה. רדיוס הבריכה עולה בקצב של 4 ס"מ לדקה. כמה מהר השטח של הבריכה גדל כאשר רדיוס הוא 5 ס"מ?

מים דולפים על הרצפה יוצרים בריכה עגולה. רדיוס הבריכה עולה בקצב של 4 ס"מ לדקה. כמה מהר השטח של הבריכה גדל כאשר רדיוס הוא 5 ס"מ?

40pi "cm" "^ 2" / min "ראשית, אנחנו צריכים להתחיל עם משוואה אנחנו יודעים לגבי האזור של המעגל, הבריכה, ואת הרדיוס שלה: A = pir ^ 2 עם זאת, אנחנו רוצים לראות כמה מהר את השטח של הבריכה גוברת, וזה נשמע הרבה כמו שיעור ... אשר נשמע הרבה כמו נגזרת. אם ניקח את הנגזרת של = pir = 2 ביחס לזמן, t, נראה כי: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (אל תשכח כי כלל השרשרת חל מימין מצד שני, עם r ^ 2 - זה דומה להבדיל משתמע.) אז, אנחנו רוצים לקבוע (dA) / dt. השאלה אמרה לנו כי (dr) / dt = 4 כאשר הוא אמר "רדיוס הבריכה עולה בקצב של 4 ס"מ לדקה", ואנחנו יודעים גם שאנחנו רוצים למצוא (dA) / dt כאשר r = 5 . חיבור של ע

אם הרדיוס של כדור עולה בקצב של 4 ס"מ לשנייה, כמה מהר הוא נפח הגדלת כאשר הקוטר הוא 80 ס"מ?

אם הרדיוס של כדור עולה בקצב של 4 ס"מ לשנייה, כמה מהר הוא נפח הגדלת כאשר הקוטר הוא 80 ס"מ?

12,800cm3s זה קלאסי קשורים יומיים חליפין. הרעיון מאחורי תעריפים קשורים הוא שיש לך מודל גיאומטרי זה לא משתנה, אפילו כמו המספרים לעשות שינוי. לדוגמה, צורה זו תישאר כדור גם כאשר היא משנה את הגודל. היחס בין הכרך שבו הוא נמצא לבין הרדיוס הוא V = 4 / 3pir ^ 3 כל עוד היחסים הגאומטריים האלה לא משתנים ככל שהתחום גדל, נוכל לגזור את הקשר הזה במשתמע, ולמצוא קשר חדש בין שיעורי השינוי . הבידול המשתמע הוא המקום בו אנו שואבים כל משתנה בנוסחה, ובמקרה זה אנו שואבים את הנוסחה ביחס לזמן. אז אנחנו לוקחים את הנגזרת של הכדור שלנו: V = 4 / 3pir ^ 3 (dv) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt (dv) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr ) / dt ניתנו למעשה (dr) / (dt).