מה הגודל (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) כאשר x מתקרב 1 מצד ימין?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

גרף {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

ובכן, זה יהיה הרבה יותר קל אם פשוט ניקח את # ln # של שני הצדדים. מאז # x ^ (1 / (1-x)) # הוא רציף במרווח פתוח לימין #1#, ניתן לומר כי:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

מאז #ln (1) = 0 # ו #(1 - 1) = 0#, זה של הטופס #0/0# והכלל של לופיטל חל:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/ x) / (- 1) #

ובוודאי, # 1 / x # הוא רציף מכל צד של #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

כתוצאה מכך, המגבלה המקורית היא:

# (x) (x-> 1) (+)) x (1) (1-x)) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = color (כחול) (1 / e) #