מספר דרכים חלוקת 52 קלפים בין ארבעה שחקנים, כך שלושה שחקנים יש 17 קלפים כל השחקן הרביעי נשאר עם כרטיס אחד בלבד?

תשובה:

# () () 52 (,) 17 () () 35 (,) 17 ()) 18 (,) 17 ())) 1 (,) 1 () (/ 6 ~ ~ 2.99xx10 ^ 23 # דרכים

הסבר:

בואו נראה לראשונה שזו בעיה של שילובים - לא אכפת לנו מה סדר הכרטיסים:

# (N, k) = (n), (k)) = (n!) / (K!) (N-k)!) עם # n = "אוכלוסיה", k = "מבחר" #

אחת הדרכים שבהן אנו יכולים לעשות זאת היא לראות כי עבור האדם הראשון, אנו נבחר 17 מתוך 52 קלפים:

#((52),(17))#

לאדם השני, נבחר 17 קלפים מתוך 35 הקלפים הנותרים:

#((52),(17))((37),(17))#

ואנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר עבור השחקן הבא:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))#

ואנחנו יכולים להיכנס למונח האחרון גם לשחקן האחרון:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))((1),(1))#

ועכשיו עבור החלק האחרון - קבענו את זה כך שיש אדם מסוים מוגדר, ואז אדם שני, ואז אדם שלישי, ואז האדם האחרון - אשר יכול להיות בסדר, אבל אנחנו מתייחסים לאדם הראשון בצורה שונה מאשר השני ושניים אלה שונים מן השלישי, למרות שהם אמורים להיות זהים בשיטת הציור שלהם. עשינו סדר חשוב והסדר הוא מושג תמורה (ראה בהמשך פרטים נוספים על כך).

אנחנו לא רוצים לקבל את הסדר חשוב ולכן צריך לחלק על ידי מספר דרכים אנחנו יכולים לארגן את שלושת האנשים - וזה #3! = 6#

כל זה נותן:

# () () 52 (,) 17 () () 35 (,) 17 ()) 18 (,) 17 ())) 1 (,) 1 () (/ 6 ~ ~ 2.99xx10 ^ 23 # דרכים

~~~~~

בואו נביט בדוגמה הרבה יותר קטנה כדי לראות את ההערה בהזמנה. בואו ניקח 5 פריטים ולהפיץ אותם בין 3 אנשים: 2 אנשים לקבל 2 פריטים כל והאדם האחרון מקבל את הפריט הנותר. חישוב באותו אופן שעשינו לעיל:

# () 5 (,) 2 () () 3 () 2 () () 1 (,) 1 () = 10xx3xx1 = 30 # דרכים

אבל אם אנחנו באמת לספור אותם:

א ב ג ד ה

A, BD, CE

A, BE, CD

B, AC, DE

B, AD, לספירה

B, AE, CD

C, AB, DE

C, AD, BE

C, AE, BD

D, AB, CE

D, AC, BE

D, AE, BC

E, AB, CD

E, AC, BD

E, AD, BC

יש רק 15. למה? עשינו את האדם הראשון ואת האדם השני בחישוב (אחד מקבל לבחור מ 5, הבא לבחור מתוך 3) ולכן עשינו סדר סדר. על ידי חלוקה לפי מספר האנשים שאמורים להיות שווים אבל לא בחישוב, אנו מחלקים את הסדר, או את מספר האנשים שאמורים להיות שווים אבל לא, מעשיים. במקרה זה, מספר זה הוא 2 וכך #2! = 2#, נותן:

#30/2=15# אשר התשובה הנכונה