מהי המשוואה של פרבולה עם דגש על (-15, -19) ו directrix של y = -8?

תשובה:

#y = -1 / 22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

הסבר:

מכיוון שהדיריקס הוא קו אופקי, אנו יודעים שהפרבולה מכוונת אנכית (נפתחת למעלה או למטה). מכיוון שקואורדינטת ה- y של המוקד (-19) מתחת ל- directrix (-8), אנו יודעים שהפרבולה נפתחת. צורת הקודקוד של המשוואה עבור סוג זה של פרבולה היא:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

איפה h הוא x קואורדינטות של קודקוד, k זה y מתואמת של קודקוד, ואת המרחק המוקד, F, הוא מחצית המרחק חתום מ directrix להתמקד:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

הקואורדינטת y של קודקוד, k, היא f פלוס y של Directrix:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

הקואורדינטת x של הקודקוד, h, זהה לקואורדינטת x של המיקוד:

#h = -15 #

החלפת ערכים אלה למשוואה 1:

# x = 1 / (4 (-11/2) (x - 15) ^ 2 + (-27) / 2 #

פשט קצת:

#y = -1 / 22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

תשובה:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

הסבר:

פרבולה היא הנקודה של נקודה, שנעה כך שהמרחק שלה מקו, הנקרא Directix ונקודה הנקראת מיקוד, שווים.

אנחנו יודעים שהמרחק בין שתי נקודות # (x_1, y_1) # ו # x_2, y_2) # ניתן ע"י #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # ו

המרחק בין נקודה # (x_1, y_1) # ואת הקו # ax + + + c = 0 # J # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

עכשיו מרחק של נקודה # (x, y) # על פרבולה ממוקד ב #(-15,-19)# J #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) # #

ואת המרחק שלה מן directrix # y = -8 # או # y + 8 = 0 # J # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = y + 8 | #

לפיכך, משוואה של פרבולה יהיה

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = y + 8 | # # או

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # או

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # או

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

גרף {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}