מספר 90 ^ 9 יש 1900 מחלקים שונים אינטגרלי חיובי. כמה מהם ריבועים של מספרים שלמים?

תשובה:

וואו - אני עונה על השאלה שלי.

הסבר:

מתברר כי הגישה היא שילוב של קומבינטוריקה ותורת המספרים. אנחנו מתחילים בפקטורינג #90^9# לתוך הגורמים העיקריים שלה:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

הטריק כאן הוא להבין איך למצוא ריבועים של מספרים שלמים, וזה פשוט יחסית. ריבועים של מספרים שלמים יכולים להיווצר במגוון דרכים מהגורם הזה:

#5^9*3^18*2^9#

אנחנו יכולים לראות את זה #5^0#, למשל, הוא ריבוע של מספר שלם ומחלק של #90^9#; כמו כן, #5^2#, #5^4#,#5^6#, ו #5^8# כל אלה עומדים בתנאים אלה גם כן. לכן, יש לנו 5 דרכים אפשריות להגדיר divisor של #90^9# כי הוא ריבוע של שלם, באמצעות 5s בלבד.

אותה הנמקה חלה גם על #3^18# ו #2^9#. כל כוח של גורמים ראשוניים אלה - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 סה"כ) עבור 3 ו 0, 2, 4, 6, 8 (5 סך הכל) עבור 2 - הוא ריבוע מושלם שהוא מחלק של #90^9#. יתר על כן, כל שילוב של מחלקים ראשוניים אלה שיש להם אפילו כוחות גם מספק את התנאים. לדוגמה, #(2^2*5^2)^2# הוא ריבוע של מספר שלם, כמו שהוא #(3^8*2^4)^2#; ואת שניהם, להיות מורכב מחלקים של #90^9#, הם גם מחלקים של #90^9#.

לכן המספר הרצוי של ריבועים של מספרים שלמים כי הם מחלקים של #90^9# ניתן ע"י #5*10*5#, המהווה את הכפל של האפשרויות האפשריות עבור כל גורם הממשלה (5 עבור 5, 10 עבור 3, ו 5 עבור 2). זה שווה ל #250#, שהיא התשובה הנכונה.