בבקשה לפתור q 58

תשובה:

בחירה 3 נכונה

הסבר:

תרשים של משולשים ישרים

בהתחשב you # frac { overline {AB}} { overcine { overline {AD}} { overline {DE}} frac { overline {AB}} {overline {BC}} = frac { overline {CD} } = k #

נדרש: מצא # (frac { overline {AE}} { overline {BC}}) ^ 2 #

ניתוח: השתמש משפט פיתגורס #c = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

פתרון: בואו, # overline {BC} = x #, # בגלל frac { overline {AB}} { overline {BC}} = k, # #

# overline {AB} = kx #, השתמש משפט Pythagorean למצוא את הערך של # overline {AC} #:

# overline {AC} = sqrt { overline {BC} ^ 2 + overline {AB} ^ 2} = sqrt {x ^ 2 + k ^ 2x ^ 2} = sqrt {(x ^ 2) 1 + k ^ 2)} = x sqrt {1 + k ^ 2} #

# overline {AC} = x sqrt {1 + k ^ 2} #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

# because frac { overline {CD}} { overline {AC}} = k, # # overline {CD} = overline {AC} * k = xk sqrt {1 + k ^ 2} #

השתמש משפט Pythagorean כדי למצוא את הערך של # overline {AD} #:

# overline {AD} = sqrt { overline {CD} ^ 2 + overline {AC} ^ 2 #

# = sqrt {(xk sqrt {1 + k ^ 2}) ^ 2 + (x sqrt {1 + k ^ 2}) ^ 2}

# = sqrt {x ^ 2k ^ 2 (1 + k ^ 2) + x ^ 2 (1 + k ^ 2)} #

# 1 sqrt {x ^ 2 k ^ 2 (1 + k ^ 2) + 1 (1 + k ^ 2)} #

# = x sqrt {(k ^ 2 + 1) (1 + k ^ 2)} #, ובכך

# overline {AD} = x (1 + k ^ 2) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

# בגלל frac { overline {AD}} { overline {DE}} = k, #

# overline {DE} = frac { overline {AD}} {k} = frac {x} {k} * (1 + k ^ 2) # #

השתמש משפט Pythagorean כדי למצוא את הערך של # overline {AE} #:

# overline {AE} ^ 2 = sqrt { overline {DE} ^ 2 + overline {AD} ^ 2 = #

# ^ sqrt {(frac {x} {k} * (1 + k ^ 2)) ^ 2 + (x (1 + k ^ 2)) ^ 2 #

# 1 sqrt {(x ^ 2 / k ^ 2) (1 + k ^ 2) ^ 2 + (x ^ 2) (1 + k ^ 2) ^ 2 #

# = x sqrt {(1 / k ^ 2 + 1) (1 + k ^ 2) ^ 2 #

# = x sqrt { frac {1 + k ^ 2} {k ^ 2} (1 + k ^ 2) ^ 2}

לפיכך,

# overline {AE} = x sqrt { frac {(1 + k ^ 2) ^ 3} {k ^ 2}

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

# (frac { overline {AE}} { overline {BC}}) ^ 2 #

# = (frac {x sqrt { frac {(1 + k ^ 2) ^ 3} {k ^ 2}}} {x}) ^ 2 #

# = (sqrt { frac {(1 + k ^ 2) ^ 3} {k ^ 2}}) ^ 2 #

לפיכך, # (frac { overline {AE}} { overline {BC}}) ^ 2 = frac {(1 + k ^ 2) ^ 3} {k ^ 2}

תשובה:

יש לי # (k ^ 2 + 1) ^ 3 / k ^ 2 # אשר הבחירה (3).

הסבר:

אנחנו הולכים לעשות כל בעיה בספרו של רהול!

זה אחד מוזר אבל עם דיאגרמה עם זוויות ישרות כי הם לא. האם זה אמור להיות 3D? החלק האמצעי הוא הפוך לעומת האחרים; נניח שזה נכון.

Rahul, מגיע לך ספר טוב יותר.

אנו נשנה מחדש את השפיות:

# b = AB, c = AC, d = AD, e = AE, p = BC, q = CD, r = DE #

ניתנו

#k = b / p = q / c = d / r #

אנחנו רוצים למצוא # e ^ 2 / p ^ 2, # רמז שלעולם לא נצטרך לכתוב שורש ריבועי.

# b = pk, quad quad q = kc, quad quad r = d / k #

# c ^ 2 = b ^ 2 + p ^ 2 = p ^ 2k ^ 2 + p ^ 2 = p ^ 2 (1 + k ^ 2) #

# 2 ^ c = 2 = c ^ 2 + q ^ 2 = c ^ 2 + (kc) ^ 2 = c ^ 2 (1 + k ^ 2) = p ^ 2 (1 + k ^ 2) ^ 2 #

(1 + 1 / k ^ 2) = p ^ 2 (1 + k ^ 2) ^ 2 (1 + 1 / k ^ 2) # # d = 2 + r ^ 2 =

# 1 / k ^ 2) ^ 2 (1 + 1 / k ^ 2) = (k ^ 2 + 1) ^ 3 / k ^ 2 #

בחירה (3)