כיצד לפתור עם אינטגרציה?

תשובה:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "שטח" = 117/4 #

הסבר:

Q הוא x- ליירט של הקו # 2x + y = 15 #

כדי למצוא נקודה זו, תן # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

לכן # Q = (15 / 2,0) #

P היא נקודת יירוט בין העקומה לקו.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

תת #(1)# לתוך #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # או # x = 3 #

מהתרשים, ה- x מתאם P הוא חיובי, כדי שנוכל לדחות # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

גרף {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

עכשיו באזור

כדי למצוא את השטח הכולל של האזור הזה, אנו יכולים למצוא שני אזורים ולהוסיף אותם יחד.

אלה יהיו מתחת לאזור # y = x ^ 2 # מ 0 עד 3, ואת השטח מתחת לקו מ 3 עד 15/2.

# "אזור מתחת לעיקול" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

אנחנו יכולים לעבוד את השטח של הקו באמצעות אינטגרציה, אבל קל יותר לטפל בו כמו משולש.

# "אזור תחת שורה" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) # #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "השטח הכולל של האזור המוצל" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

תשובה:

עבור 3 & 4

טום עשה 10

הסבר:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int = ^ - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

(x) dx # (#) _ (2) - 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3)

#:. (x) dx = -int _ (2) ^ (2) f (x) dx =

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

תשובה:

ראה למטה:

אזהרה: תשובה ארוכה!

הסבר:

עבור (3):

שימוש בנכס:

# x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

לפיכך:

# f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

עבור (4):

(אותו דבר)

# x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

עם זאת, אנחנו חייבים להחליף את גבולות אינטגרל, כך:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

לכן:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (4) = 4 #

עבור 10 (א):

יש לנו שתי פונקציות מצטלבות ב # P #, כך ב # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(הפכתי את פונקציה הקו לתוך ליירט ליירט צורה)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

לכן # x = 3 # כמו שאנחנו מימין # y # ציר, כך #x> 0 #.

(קלט # x = 3 # לתוך כל הפונקציות)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

אז את הקואורדינטות של # P # J #(3,9)#

ל # Q #, השורה # y = -2x + 15 # חותך את # y #-axis, כך # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7.5 #

לכן # Q # ממוקם ב #(7.5, 0)#

עבור 10 (ב).

אני אבנה שני אינטגרלים כדי למצוא את השטח. אני אפתור את האינטגרלים בנפרד.

השטח הוא:

# x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(לפתור אינטגרל הראשון)

# x = 2) dx = x ^ 3/3 # #

(תחליף את הגבולות לתוך הביטוי המשולב, זכור:

גבול עליון-עליון כדי למצוא את הערך של אינטגרל)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(לפתור אינטגרל השני)

# + - + 15 dx = int_3 ^ 7.5 -2x + 15 dx = - 2x ^ 2 / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(גבולות חלופיים: עליון תחתון)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx # dx = int_O ^ p (x ^ 2) dx +

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #