כיצד אתם משלבים אינט-שניה ^ -1x על ידי אינטגרציה על ידי חלקים שיטה?

תשובה:

התשובה היא # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

הסבר:

אנחנו צריכים

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

אינטגרציה על ידי חלקים היא

# intu'v = uv-intuv '#

כאן יש לנו

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

לכן, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

בצע את האינטגרל השני על ידי החלפה

תן # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) # #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) # #

תן # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

לכן, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

סוף כל סוף, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

תשובה:

# x = + sqrt (x ^ 2-1)) + C # (x)

הסבר:

לחלופין, אנו יכולים להשתמש בנוסחה ידועה מעט כדי לעבד אינטגרלים של פונקציות הפוכה. הנוסחה קובעת:

#int = f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

איפה # f ^ -1 (x) # הוא הפוך של #f (x) # ו #F (x) # הוא אנטי נגזרת של #f (x) #.

במקרה שלנו, אנחנו מקבלים:

#int = sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

עכשיו כל מה שאנחנו צריכים לעבוד הוא אנטי נגזרת # F #, שהיא האינטגרציה הבטוחה המוכרת:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

חיבור זה בחזרה לנוסחה נותן את התשובה הסופית שלנו:

# + xx = -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

אנחנו צריכים להיות זהירים לגבי לפשט #tan (sec ^ -1 (x)) # ל #sqrt (x ^ 2-1) # כי הזהות תקפה רק אם #איקס# הוא חיובי. יש לנו מזל, עם זאת, כי אנחנו יכולים לתקן את זה על ידי לשים ערך מוחלט על המונח השני בתוך הלוגריתם. זה גם מסיר את הצורך הערך המוחלט הראשון, שכן כל דבר הלוגריתם תמיד יהיה חיובי:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #