מהו קודקוד y = x ^ 2 -9 - 8x?

תשובה:

קודקוד הוא #(4,-25)#.

הסבר:

במקום הראשון את המשוואה בצורה סטנדרטית.

# y = x ^ 2-8x-9 #

זוהי משוואה ריבועית בצורה סטנדרטית, # ax ^ 2 + bx + c #, איפה # a = 1, b = -8, c = -9 #.

הקודקוד הוא הנקודה המקסימלית או המינימלית של פרבולה. במקרה זה, מאז #a> 0 #, פרבולה נפתח כלפי מעלה ואת קודקוד היא נקודת המינימום.

כדי למצוא את הקודקוד של פרבולה בצורה סטנדרטית, תחילה למצוא את ציר הסימטריה, אשר ייתן לנו #איקס#. ציר הסימטריה הוא הקו הדמיוני המחלק פרבולה לשני חצאי שווים. ברגע שיש לנו #איקס#, אנחנו יכולים להחליף אותו לתוך המשוואה ולפתור עבור # y #, נותן לנו את # y # ערך עבור קודקוד.

ציר הסימטריה

#x = (- b) / (2a) # #

החלף את הערכים עבור # a # ו # b # לתוך המשוואה.

#x = (- (- 8)) / (2 * 1) # #

לפשט.

# x = 8/2 #

# x = 4 #

קבע את הערך עבור # y #.

תחליף #4# ל #איקס# לתוך המשוואה.

# y = 4 ^ 2- (8 * 4) -9 #

לפשט.

# y = 16-32-9 #

לפשט.

# y = -25 #

ורטקס = # (x, y) #=#(4,-25)#.

גרף {y = x ^ 2-8x-9 -10.21, 7.01, -26.63, -18.02}

תשובה:

#(4, -25)#

הסבר:

אנחנו מקבלים # y = x ^ 2-9-8x #.

ראשית אני רוצה לקבל את זה לתוך טופס רגיל זה קל, אנחנו רק צריכים לסדר מחדש את זה כדי להתאים את # ax ^ 2 + bx + c # טופס.

עכשיו יש לנו # x ^ 2-8x-9 #. הדרך הקלה ביותר להשיג צורה סטנדרטית לתוך טופס קדקוד היא על ידי השלמת הכיכר. תהליך השלמת הכיכר הוא עושה # x ^ 2-8x + (ריק) # כיכר מושלמת. אנחנו רק צריכים למצוא את הערך משלים את זה. ראשית אנחנו לוקחים את טווח הביניים, # -8x #, ולחלק אותו על ידי 2 (כך #-8/2#, שהוא #-4#). אז אנחנו מרובעים את התשובה הזאת, #(-4)^2#, שהוא #16#.

עכשיו אנחנו מתחברים #16# ב למשוואה לעשות ריבוע מושלם, נכון?

ובכן, בואו נסתכל על זה: # x ^ 2-8x + 16-9 = y #. עכשיו, תראי שוב. אנחנו לא יכולים פשוט להוסיף מספר אקראי על צד אחד של משוואה ולא להוסיף אותו בצד השני. מה שאנחנו עושים לצד אחד אנחנו חייבים לעשות לשני. אז עכשיו יש לנו # x ^ 2-8x + 16-9 = y + 16 #.

אחרי שעשינו את כל העבודה הזאת, בואו נעשה # x ^ 2-8x + 16 # לתוך ריבוע מושלם, שנראה ככה # (x-4) ^ 2 #. החלף # x ^ 2-8x + 16 # עם זה ויש לנו # (x-4) ^ 2-9 = y + 16 #. עכשיו אני לא יודע עליך, אבל מצא חן בעיני # y # מבודד, אז בואו לקבל את זה לבד על ידי הפחתת #16# בשני הצדדים.

עכשיו יש לנו # (x-4) ^ 2-9-16 = y #, אשר אנו יכולים לפשט # (x-4) ^ 2-25 = y #.

עכשיו זה בצורת קודקוד, וברגע שיש לנו את זה מהר מאוד כדי למצוא את הקודקוד. זהו טופס קדקוד,#y = a (x - color (אדום) (h)) ^ 2 צבע (כחול) (+ k) #, ואת קודקוד זה # (צבע (אדום) (h, צבע (כחול) (k))) #.

במקרה של המשוואה שלנו יש לנו # y = (x-color (אדום) (4)) ^ 2 צבע (כחול) (- 25) #, או # (צבע (אדום) (4), צבע (כחול) (- 25)) #.

שימו לב כי # (צבע (אדום) (h), k) # הוא ההפך ממה שהיה במשוואה!

דוגמא: # y = (x + 3) ^ 2 + 3 #, קודקוד הוא # (צבע (אדום) (-) 3,3) #.

אז, קודקוד הוא #(4, -25)#, ואנחנו יכולים לבדוק את זה על ידי גרף את המשוואה ואת מציאת קודקוד, המהווה את הנקודה הגבוהה ביותר או הנמוכה ביותר על הפרבולה.

גרף {x ^ 2-8x-9}

נראה כאילו יש לנו את זה נכון! עבודה יפה!