U_1, u_2, u_3, ... הם בגיאומטריה (GP). היחס הנפוץ בין המונחים בסדרה הוא K.Now לקבוע את סכום הסדרה u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) בצורת K ו- u_1?

תשובה:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

הסבר:

המונח הכללי של התקדמות גיאומטרית ניתן לכתוב:

#a_k = a r ^ (k-1) #

איפה # a # הוא המונח הראשוני # r # היחס הנפוץ.

הסכום לסכום # n # המונחים ניתנים על ידי הנוסחה:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#צבע לבן)()#

עם המידע שניתן בשאלה, הנוסחה הכללית עבור # u_k # ניתן לכתוב:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

שים לב ש:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

לכן:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

# kolor (לבן) (sum = k = 1) ^ n u_k u_k (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1)

#color (לבן) (sum_ (k = 1) ^ u uk k_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n r ^ (k-1) איפה # a = u_1 ^ 2K # ו #r = K ^ 2 #

#color (לבן) (סכום = k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) # #