מה הם מספרים מורכבים?

מספרים מורכבים הם מספרי הטופס # a + bi # איפה # a # ו # b # הם מספרים אמיתיים #אני# זה מוגדר כ # i = sqrt (-1) #.

(הנ"ל היא הגדרה בסיסית של מספרים מורכבים, המשך לקרוא עליהם עוד קצת).

בדומה לאופן שבו אנו מציינים את קבוצת המספרים הריאליים # RR #, אנו מציינים את קבוצת המספרים המורכבים כ- # CC #. שים לב כי כל המספרים הריאליים הם גם מספרים מורכבים, כמו כל מספר אמיתי #איקס# יכול להיות כתוב # x + 0i #.

בהתחשב במספר מורכב # z = a + bi #, אנחנו אומרים את זה # a # האם ה חלק אמיתי של המספר המורכב (מסומן # "Re" (z) #) # b # האם ה חלק דמיוני של המספר המורכב (מסומן # "Im" (z) #).

ביצוע פעולות עם מספרים מורכבים דומה לביצוע פעולות על binomials. בהתחשב בשני מספרים מורכבים # z_1 = a_1 + b_1i # ו # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (זוכרים # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = (a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

לחלוקה, השתמשנו בכך # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. בהתחשב במספר מורכב # z = a + bi # אנו קוראים # a-bi # ה מורכב מצומד of # z # ו לציין את זה #bar (z) # זהו נכס שימושי (כפי שנראה לעיל) כי #zbar (z) # הוא תמיד מספר אמיתי.

המספרים המורכבים יש יישומים שימושיים רבים ותכונות, אבל אחד אשר נתקל לעתים קרובות מוקדם הוא השימוש שלהם פולינומים factoring. אם אנחנו מגבילים את עצמנו רק מספרים ממשיים, פולינום כגון # x ^ 2 + 1 # לא יכול להיות factored נוספת, אבל אם אנו מאפשרים מספרים מורכבים, אז יש לנו # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

למעשה, אם אנו מאפשרים מספרים מורכבים, אז כל פולינום חד פעמי של התואר # n # יכול להיות כתוצר של # n # גורמים ליניאריים (ייתכן שחלקם זהים). תוצאה זו ידועה בשם יסוד האלגברה, וכן, כפי שהשם מציין, חשוב מאוד אלגברה ויש לו יישום רחב.

מהי הנוסחה להכפלת מספרים מורכבים בצורת טריגונומטריה?

בטריגונומטריה, מספר מורכב נראה כך: a + bi = c * cis (theta) כאשר a, b ו- c הם סקלרים.(1) * c_ (1) * c_ (1) c_ (1) c_ (1) * cis (אלפא) -> k_ (2) = c_ ) c * (c) (c) (cph (alpha) + i * חטא (אלפא)) * (cos (beta) + i * (1) * c_ (2) * (cos (אלפא + ביתא) + i * חטא (גרסת ביתא + אלפא + ביתא) ) C = (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c1) הנוסחה של תוצר של שני מספרים מורכבים בצורת טריגונומטריה היא: (c_ (1) * cis (אלפא)) * (c_ (2) * cis (ביתא)) = c_ (1) * c_ (2) * cis אלפא + ביתא) מקווה שזה עוזר.

מהי הפרשנות הגיאומטרית של הכפלת שני מספרים מורכבים?

תן ל- z_1 ו- z_2 להיות שני מספרים מורכבים. על ידי כתיבה חוזרת, {z_1 = r_1e ^ {i theta_1}), (z_2 = r_2 e ^ {i theta_2}):} אז, z_1 cdot z_2 = r_1e ^ {i theta_1} cdot r_2 e ^ {i theta_2 } = (r_2 cdot r_2) e ^ {i (theta_1 + theta_2)} לפיכך, ניתן לפרש את התוצר של שני מספרים מורכבים כשילוב של תוצר הערכים המוחלטים שלהם (r_1 cdot r_2) לבין סכום הזוויות שלהם (theta_1 + theta_2) כפי שמוצג להלן. אני מקווה שזה היה ברור.

מה הקשר בין הצורה המלבנית של מספרים מורכבים לבין צורת הקוטב המתאימה להם?

הצורה המלבנית של טופס מורכב ניתנת במונחים של 2 מספרים ריאליים a ו- b בצורה: z = a + jb הצורה הקוטבית של אותו מספר ניתנת במונחים של גודל r (או אורך) ו- q (q) או זווית) בצורה: z = r | _q אתה יכול לראות מספר מורכב על ציור בדרך זו: במקרה זה המספרים a ו- b הופכים לקואורדינטות של נקודה המייצגת את המספר המורכב במישור המיוחד ( Argand-Gauss) שבו על ציר x אתה מגרש את החלק האמיתי (מספר א) ובציר y הדמיוני (מספר b, הקשורים j). בצורת הקוטב אתה מוצא את אותה נקודה אך משתמש את גודל r ואת הטענה ש: עכשיו הקשר בין מלבני ו קוטבי נמצא מצטרף 2 ייצוגים גרפיים ובהתחשב המשולש שהושג: היחסים אז הם: 1) Pitagora של משפט (לקשר את (r = r = r = r = r = r