מה הגבול של (1 / x) - (1) / (e ^ (x) -1)) כאשר x מתקרב 0 ^ +?

תשובה:

# lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 #

הסבר:

תן:

# f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) #

# ("= e-x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1)) #

# "" = (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) # #

לאחר מכן אנו מבקשים:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) # #

כמו זה הוא צורה בלתי מוגדר #0/0# אנו יכולים ליישם את הכלל של L'Hôpital.

# D = dx (x x ^ x-x) # (d = x)

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) # #

שוב, זה טופס בלתי מוגדר #0/0# ניתן להחיל את החוקים של L'Hôpital שוב:

# D = dx (xe ^ x + e ^ x - 1) (# x = r = 0)

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x) / (xe ^ x + e ^ x + e ^ x) # #

# = (e ^ 0) / (0 + e ^ 0 + e ^ 0) #

# = 1/2 #