מהו אורך הסולם אם סולם של L אורך נישא אופקית מעבר לפינה מאולם 3 מטרים רחב לתוך מסדרון 4 מטרים רחב?

מהו אורך הסולם אם סולם של L אורך נישא אופקית מעבר לפינה מאולם 3 מטרים רחב לתוך מסדרון 4 מטרים רחב?
Anonim

שקול קטע קטע פועל מ # (x, 0) # ל # (0, y) # דרך פינת הפנים #(4,3)#.

אורך מינימלי של קטע זה קטע יהיה אורך מרבי של סולם כי ניתן לתמרן סביב זה בפינה.

נניח ש #איקס# הוא מעבר #(4,0)# לפי גורם קנה מידה כלשהו, # s #, של 4, כך

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

לצפות עבור # (1+ s) # המופיעה מאוחר יותר כערך כדי להיות מתוך משהו.

על ידי משולשים דומים אנו יכולים לראות את זה

#y = 3 (1 + 1 / s) #

לפי משפט פיתגורס, אנו יכולים לבטא את הריבוע של אורך קטע הקו כפונקציה של # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

בדרך כלל היינו לוקחים את נגזרת של L (ים) כדי למצוא את המינימום אבל במקרה זה קל יותר לקחת את נגזרת של # L ^ 2 (s) #.

(שים לב שאם #L (ים) # הוא מינימום # s = s_0 #, לאחר מכן # L ^ 2 (s) # יהיה גם מינימום ב # s = s_0 #.)

לוקח את הנגזרת הראשונה של # L ^ 2 (s) # ואת הגדרת אותו לאפס, אנחנו מקבלים:

# 2 ^ (2 - 2) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

הכפלה על ידי # s ^ 3 # ולאחר מכן factoring החוצה # 2 (1+ s) #

מאפשר לנו לפתור עבור # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

חיבור ערך זה בחזרה למשוואה עבור # L ^ 2 (s) # ולקחת את השורש הריבועי (השתמשתי בגיליון אלקטרוני), אנחנו מקבלים

אורך הסולם המרבי # = 9.87 רגל # (כ.)