איך למצוא נוסחה של MacLaurin עבור f (x) = sinhx ולהשתמש בו כדי F (1/2) בתוך 0.01?

תשובה:

#sinh (1/2) ~ ~ 0.52 #

הסבר:

אנחנו יודעים את ההגדרה #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

מאז אנחנו מכירים את סדרת Maclaurin עבור # e ^ x #, אנו יכולים להשתמש בו כדי לבנות אחד עבור #sinh (x) #.

# + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) # #

אנחנו יכולים למצוא את הסדרה # e ^ -x # על ידי החלפת #איקס# עם #-איקס#:

# n = -x = sum_ (n = 0) ^ ^ (-x) ^ n / n! (= n =) = n_ (n = 0) ^ ^ (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

אנחנו יכולים לחסר את שני אלה אחד מהשני כדי למצוא את המונה של # sinh # Defin:

(+) x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (לבן) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^-x = צבע (לבן) (lllllllll) 2xcolor (לבן) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) צבע (לבן) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

אנו יכולים לראות כי כל התנאים אפילו לבטל את כל התנאים מוזרים כפליים. אנו יכולים לייצג דפוס זה כך:

# + ^ 2-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ 2 oo / (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

כדי להשלים את #sinh (x) # בסדרה, אנחנו פשוט צריכים לחלק את זה על ידי #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo ביטול 2 / (ביטול 2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# (+ = n = 0) + x x ^ (2n + 1) / (2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

עכשיו אנחנו רוצים לחשב #f (1 / 2) # עם דיוק של לפחות #0.01#. אנחנו יודעים את זה בצורה כללית של שגיאת לגראנז 'קשורה עבור תואר ny פולינום n # x = c #:

(X + c) ^ (n + 1) | # איפה #M# הוא הגבול העליון על נגזרת nth על מרווח מ # c # ל #איקס#.

במקרה שלנו, ההתרחבות היא סדרה מקלאורין, כך # c = 0 # ו # x = 1 / 2 #:

(| + 1)! (1/2) ^ (n + 1) | #

נגזרות סדר גבוה יותר של #sinh (x) # יהיה גם #sinh (x) # או #cosh (x) #. אם ניקח בחשבון את ההגדרות עבורם, אנו רואים זאת #cosh (x) # יהיה תמיד גדול מ #sinh (x) #, אז אנחנו צריכים לעבוד את #M#-מחויב ל #cosh (x) #

פונקציית הקוסינוס ההיפרבולית תמיד הולכת וגדלה, ולכן הערך הגדול ביותר במרווח יהיה #1 / 2#:

# (= 1) / = 2 = = 2) = 1 = / 1 = / 2/1 / (2) #

עכשיו אנחנו תקע את זה לתוך לגראנז שגיאה כבול:

(+ 1)) (+ 1)!) (1/2) ^ (n + 1) # #

אנחנו רוצים # | R_n (x) | # להיות קטן יותר #0.01#, אז אנחנו מנסים קצת # n # עד שנגיע לנקודה זו (כמות קטנה יותר של תנאים בפולינום, כן ייטב). אנו מוצאים את זה # n = 3 # הוא הערך הראשון שייתן לנו שגיאה כבול קטן יותר #0.01#, אז אנחנו צריכים להשתמש פולינום תואר שלישי טיילור.

# (+ 2) ~ ~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / (2n + 1)! = = 336169/645120 ~~ 0.52 #