מהי המשוואה בצורה סטנדרטית של פרבולה עם דגש על (42, -31) ו directrix של y = 2?

תשובה:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # צורה סטנדרטית

הסבר:

שים לב שהדיריקס הוא קו אופקי

#y = 2 #

לכן, פרבולה היא סוג שנפתח כלפי מעלה או כלפי מטה; צורת הקודקוד של המשוואה עבור סוג זה היא:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

איפה # (h, k) # הוא קודקוד ו # f # הוא המרחק האנכי החתום מקודקוד המוקד.

הקואורדינטת x של הקודקוד זהה לקואורדינטת x של המיקוד:

#h = 42 #

תחליף #42# ל # h # לתוך משוואה 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

הקואורדינטת y של קודקוד היא באמצע הדרך בין directrix לבין המוקד:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

תחליף #-29/2# ל # k # לתוך משוואה 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

המשוואה כדי למצוא את הערך של # f # J

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

תחליף #-33/2# ל # f # לתוך משוואה 3:

#y = 1 / (4 -33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

פשט את השבר:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

הרחב את הריבוע:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

הפץ את השבר:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

שלב כמו מונחים:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # צורה סטנדרטית

תשובה:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

הסבר:

אנו נפתור זאת בעיה באמצעות הבאות פוקוס-דיטריקס

נכס (FDP) של ה פרבולה.

FDP: כל נקודה על פרבולה J שווה מ ה

פוקוס וה Directrix.

תן, הנקודה # F = F (42, -31) ", וכן את השורה" d: y-2 = 0, # להיות

ה פוקוס וה Directrix של ה פרבולה, אומר ש.

תן, # P = P (x, y) ב- S, # להיות כל נקודה כללית.

לאחר מכן, באמצעות נוסחת מרחק, יש לנו, המרחק,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………….. (1). #

בידיעה כי # bot- #Dist. בין נקודה # (k, k), # ו, שורה:

# ax + + c + 0, #, # | אה + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # אנו מוצאים כי, # "bot" "dist. btwn" P (x, y), & d "is," | y-2 | ………….. (2) # #

על ידי FDP, # (1) ו- (2), # יש לנו, # sqrt {x-42} ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = y-2 | or

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2 (y + 31) ^ 2 = -66y-957, כלומר #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957 #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # אשר, ב צורה סטנדרטית, קורא, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

כפי ש כבוד דגלס ק 'סר כבר נגזר!

תהנה מתמטיקה.!