מהו שורש הריבוע של 90?

תשובה:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

הסבר:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # הוא מספר לא רציונלי איפשהו בין #sqrt (81) = 9 # ו #sqrt (100) = 10 #.

למעשה, מאז #90 = 9 * 10# הוא של הטופס #n (n + 1) # יש לה המשך התרחבות קבועה של הטופס # n; bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9, bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+…))))))) #

דרך אחת מהנה למצוא קירובים רציונליים היא באמצעות רצף שלם שהוגדר על ידי הישנות ליניארית.

שקול את משוואת ריבועית עם אפסים # 19 + 2sqrt (90) # ו # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (לבן) (0) = (x-19) ^ 2 (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (לבן) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (לבן) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

לכן:

# x ^ 2 = 38x-1 #

השתמש בזה כדי להפיק רצף:

# (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

המונחים הראשונים של רצף זה הם:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

היחס בין מונחים רצופים יטה # 19 + 2sqrt (90) #

לפיכך:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #