מהי שיטת הרחבה cofactor למציאת הקובע?

שלום !

תן #A = (a_ {i, j}) # להיות מטריצה של גודל #n times #.

בחר עמודה: מספר העמודה # j_0 # (אני אכתוב: " # j_0 #העמודה ").

ה נוסחת הרחבת cofactor (או הנוסחה של לפלס) עבור # j_0 #העמודה היא

# det = () ^ i = = i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0}

איפה # Delta_ {i, j_0} # הוא הקובע של המטריצה # A # ללא שלה #אני#השורה שלה ואת שלה # j_0 #העמודה; לכן, # Delta_ {i, j_0} # הוא קובע גודל # (n-1) times (n-1) #.

שים לב למספר # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} נקרא cofactor של המקום # (i, j_0) #.

אולי זה נראה מסובך, אבל זה קל להבין עם דוגמה. אנחנו רוצים לחשב # D #:

אם נתפתח על הטור השני, אתה מקבל

לכן:

סוף כל סוף, # D = 0 #.

כדי להיות יעיל, אתה צריך לבחור קו שבו יש הרבה אפסים: הסכום יהיה פשוט מאוד לחשב!

הערה. כי # det (A) = det (A ^ Text {T}) #, אתה יכול גם לבחור שורה ולא עמודה. אז, הנוסחה הופכת

# det = () = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j}

איפה # i_0 # הוא מספר השורה שנבחרה.