שאלה # 0df97

תשובה:

התשובה היא 4 # e ^ -2 #.

הסבר:

הבעיה היא:

# 2 (+ 2) + (2x + 2) (2x + 2)

עכשיו זו בעיה קשה. הפתרון טמון בהכרת דפוס זהירה מאוד. ייתכן שתזכור את ההגדרה של # e #:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~ ~ 2.718 … #

אם נוכל לשכתב את המגבלה כמשהו קרוב להגדרה של # e #, תהיה לנו התשובה שלנו. אז בואו ננסה את זה.

שים לב ש # 2 (+ 2) + (2x + 2) (2x + 2) שווה ל:

(2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # #

אנחנו יכולים לפצל את השברים כך:

(2x + 2) # (2x + 4) (2x + 2) # (2x + 4)

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # #

אנחנו מגיעים לשם! בואו ניקח את #-2# מהחלק העליון והתחתון:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # #

# (+) (+ 2) + (- 2) + (- 2) +

# (-)> (- x ->) (+ 1) (ביטול) () 2 (+)

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) # #

תן לנו להחיל את החלפה # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) # #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

המאפיינים של המאמינים אומרים: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

לכן #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (2u-2) # שווה ל:

# (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) # #

המאפיינים של המעריכים גם אומרים כי: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

מה שאומר זה עוד מפחית ל:

(1 + 1 / u) ^ (- 2) # (- 1)

(1 + 1 / u) ^ (- 2) # (- 2) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u)

לפי הגדרה, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; ושימוש בתחליפים ישירים על גבול התשואות השני:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

אז הפתרון הוא …

(1 + 1 / u) ^ (+ 1 / u) (+ 2)

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #