תשובה:
#= 6 # מעוקב
הסבר:
הווקטור הרגיל הוא #((2),(3),(1))# אשר מצביע לכיוון octant 1, כך נפח השאלה היא תחת המטוס ב octant 1
אנחנו יכולים לכתוב מחדש את המטוס כמו #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
ל #z = 0 # יש לנו
- # z = 0, x = 0 מרמז y = 2 #
- # z = 0, y = 0 מרמז x = 3 #
ו
- - # x = 0, y = 0 מרמז z = 6 #
זה זה:
נפח שאנחנו צריכים הוא
#int_A z (x, y) dA #
# 2 - 3 x) 6 - 2x - 3y dy dx #
# (2 = 2) 3 (2 = 2) - (2 = 2/3 x)
# 2 (2/3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 (y = = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6- 4 x 2/3 x ^ 2 dx #
# = 6x- 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
תשובה:
6
הסבר:
אנחנו הולכים לבצע אינטגרל משולשת.
מערכת הקואורדינטות הקרטזית היא המתאימה ביותר. סדר האינטגרציה אינו קריטי. אנחנו הולכים z הראשון, y באמצע, x האחרון.
# קו תחתון ("קביעת גבולות") #
על המטוס #z = 6 - 2x - 3y # ובמטוס הקואורדינטות #z = 0 # ומכאן
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
יחד # z = 0 #, # y # הולך מ 0 ל # 3y = 6 - 2x # ומכאן
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
יחד # y = 0, z = 0 # ומכאן
#x: 0 rarr 3 #
אנחנו מוצאים את עוצמת הקול כך #f (x, y, z) = 1 #. אינטגרל הופך
# int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3y) dzdydx #
# = int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) z _0 ^ (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# 2 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #
# 4 - 8 + 3x + 4 / 9x ^ 2) # dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
