מהי הנגזרת של f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

תהליך:

1.) #y = "arccsc" (x) #

תחילה נכתוב מחדש את המשוואה בצורה שקל יותר לעבוד איתה.

קח את cosecant של שני הצדדים:

2.) #csc y = x #

לשכתב במונחים של סינוס:

3.) # 1 / siny = x #

לפתור עבור # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = חטא y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

עכשיו, לוקח את הנגזרת צריך להיות קל יותר. עכשיו זה רק עניין של שלטון שרשרת.

אנחנו יודעים את זה # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - אלפא ^ 2) # # (יש הוכחה לזהות זו הנמצאת כאן)

אז, לקחת את נגזרת של הפונקציה החיצונית, ולאחר מכן להכפיל את נגזרת של # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

נגזרת של # 1 / x # הוא זהה לנגזרת של #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

פישוט 8. נותן לנו:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

כדי להפוך את ההצהרה קצת יפה יותר, אנחנו יכולים להביא את הכיכר של # x ^ 2 # בתוך הקיצוני, אם כי זה לא הכרחי:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

פישוט התשואות:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

ויש את התשובה שלנו. זכור, בעיות נגזרות מעורבים פונקציות טריג טרי הם בעיקר תרגיל הידע שלך של זהויות טריג '. השתמש בהם כדי לשבור את הפונקציה לצורה שקל להבחין.