מפשט את S_ (k + 1) לחלוטין. תודה?!!

תשובה:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

# K_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

הסבר:

אנחנו לא יכולים פשוט להחליף # x = k + 1 # לתוך הנוסחה, או שאני חסר משהו כאן?

הרצף הוא:

# N = 1 + 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

אז, אם אנחנו רוצים לחשב # S_k #, אנחנו פשוט לשים # n = k #, וקבל

# K + 1 = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

במקרה של #S_ (k + 1) #, אני חושב שאנחנו יכולים פשוט להחליף # n = k + 1 #, ואנחנו הולכים להיות

(K + 2) = (k + 1) (k + 2) (+ k + 3)) / 3 #

אם אנחנו רוצים להרחיב את זה, זה הופך להיות

# (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = k ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (k ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (k ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = k ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = k ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

תשובה:

# K_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

הסבר:

(+) + + + + 3 + + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

תן את ההצהרה להיות נכון עבור n = k, (+ K + 1) = (k + k + 1) (+ 2) + 3 +

תן לנו לאמת

n = k + 1, לאחר מכן

# S_n = S_ (k + 1) #

# n + 1 = k + 2 #

# n + 2 = k + 3 #

# "עם טווח מיידי להיות" (k + 1) (k + 2) # #

# (n (n + 1) (n + 2) / 3 = = (k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

לפיכך, (+ 1 +) + + + + + + + + + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2)

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# k (k + 1) (k + 2)) / + 3 (k + 1) (k + 2) #

# (1 + 3) k (k + 1) (k + 2) +3 (k + 1) (k + 2) #

# (+ 1) 3 (k + 1) (k + 2) (k + 3) (= k + 1) (k + 2) (k + 3)

מאומת.

לכן

# K_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #