תשובה:
#3:# # pi / 3 #
הסבר:
יש לנו:
#sum_ (n = 0) ^ oosin ^ n (theta) = 2sqrt (3) + 4 #
#sum_ (n = 0) ^ oo (חטא (theta)) ^ n = 2sqrt (3) + 4 #
אנחנו יכולים לנסות כל אחד מהערכים האלה, ולראות מי נותן # 2sqrt3 + 4 #
#f (r) = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n = 1 (1-r) #
# 1 (/ 3 pi / 4) = = p = / 4 = = 1 / p = /)
#f (pi / 6) = 1 / (1-sin (pi / 6)) = 2 #
#f (pi / 3) = 1 / (1-sin (pi / 3)) = 2sqrt3 + 4 #
# pi / 3- = 3 #
יש דרך אחרת, באמצעות התקדמות גיאומטרית.
הסדרה היא # 1 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # אשר ניתן לכתוב כמו
# (sintheta) ^ 0 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # # מכיוון ש"משהו "^ 0 = 1 #
תקופת ההתקדמות הראשונה שלנו # a = 1 # ויחס משותף בין כל טווח של הסדרה הוא # r = sintheta #
סכום של סדרה אינסופית התקדמות גיאומטרית ניתנת על ידי:
# S_oo = a / (1-r), r 1 #
חיבור ערכים שיש לנו
# S_oo = 1 / (1-sintheta) #
אבל, # S_oo = 2sqrt3 + 4 # נתון.
לכן, # 1 / (1-sintheta) = 2sqrt3 + 4 #
# => 1 / (2sqrt3 + 4) = 1-sintheta #
הרציונליזציה של המכנה בצד שמאל, # (+) צבע (אדום) (2sqrt3-4)) / ((2sqrt3 + 4) צבע (אדום) ((2sqrt3-4))) = 1-sintheta #
# => (2sqrt3-4) / (12-16) = 1-sintheta # # מכיוון a + b) (a-b) = a ^ 2 + b ^ 2 #
# => - (2sqrt3-4) / 4 = 1-sintheta #
# => - (Cancel2sqrt3) / ביטול 4 ^ 2 + 4/4 = 1-sintheta #
# => -sqrt3 / 2 + ביטול1 = ביטול 1-sintheta #
# => ביטול-sqrt3 / 2 = ביטול- sintheta #
# => sqrt3 / 2 = sintheta #
# => theta = חטא ^ (- 1) (sqrt3 / 2) # #
# => theta = 60 ° = π / 3 #
מקווה שזה עוזר.:)
